Considere o vetor unitário u=(raiz32, 12) e a função
f(x, y)=ll x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine a derivada direcional Dpsi f(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um vetor unitário u = (raiz32, 12) e uma função f(x, y) definida de uma forma específica. O objetivo é encontrar a derivada direcional de f na origem, ou seja, Du f(0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular essa derivada usando limites e algumas propriedades de funções multivariadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função f em um ponto (a, b) na direção de um vetor u = (u1, u2) é basicamente a taxa de variação de f nesse ponto na direção de u. Matemáticamente, ela é definida por:
Du f(a, b) = limh to 0 f(a + h u1, b + h u2) - f(a, b)h
No nosso caso, queremos Du f(0,0).

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para f(0,0). Sabemos que f(0,0) = 0, então a fórmula fica:
Du f(0,0) = limh to 0 f(0 + h cdot raiz32, 0 + h cdot 12) - 0h = limh to 0 f(raiz32 h, 12 h)h

Passo 4

Agora, precisamos calcular f nesse ponto específico. A função f(x, y) é dada por:
f(x, y) = x y^2x^2 + y^4
Portanto, substituindo x = raiz32 h e y = 12 h, temos:
f(raiz32 h, 12 h) = (raiz32 h) (12 h)^2(raiz32 h)^2 + (12 h)^4

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculemos o numerador:
(raiz32 h) (12 h)^2 = raiz32 h cdot 14 h^2 = raiz38 h^3
Agora, o denominador:
(raiz32 h)^2 + (12 h)^4 = 34 h^2 + 116 h^4

Passo 6

Então, a expressão para f(raiz32 h, 12 h) fica:
f(raiz32 h, 12 h) = raiz38 h^334 h^2 + 116 h^4 = raiz38 h^334 h^2 (1 + 112 h^2) = raiz38 h^3 cdot 43 h^2 (1 + 112 h^2) = raiz36 h cdot 11 + 112 h^2

Passo 7

Agora, voltando à expressão da derivada direcional:
Du f(0,0) = limh to 0 f(raiz32 h, 12 h)h = limh to 0 raiz36 h cdot 11 + 112 h^2h = limh to 0 raiz36 cdot 11 + 112 h^2

Passo 8

À medida que h tende a 0, o termo 112 h^2 também tende a 0. Então, a expressão fica:
raiz36 cdot 11 + 0 = raiz36

Resposta

A derivada direcional Du f(0,0) é raiz36.

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