Considere o vetor unitário
e a função
Determine a derivada direcional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um vetor unitário
e uma função
definida de uma forma específica. O objetivo é encontrar a derivada direcional de
na origem, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular essa derivada usando limites e algumas propriedades de funções multivariadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é basicamente a taxa de variação de
nesse ponto na direção de
. Matemáticamente, ela é definida por:
No nosso caso, queremos
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para
. Sabemos que
, então a fórmula fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
nesse ponto específico. A função
é dada por:
Portanto, substituindo
e
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, calculemos o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 6
Então, a expressão para
fica:
Passo 7
Agora, voltando à expressão da derivada direcional:
Passo 8
À medida que
tende a 0, o termo
também tende a 0. Então, a expressão fica:
Resposta
A derivada direcional
é
.