Considere a função f(x, y)=x^2+y^2+1. Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

O enunciado pede para estudar as curvas de nível da função f(x,y)=x^2+y^2+1. Isso faz parte de análise de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de curva de nível, que é o conjunto (x,y):f(x,y)=c para cada valor real c.

Passo 2

Para encontrar a curva de nível associada a um valor c, igualamos f(x,y) a c. Assim, temos:
x^2 + y^2 + 1 = c
Reorganizando a equação acima, obtemos:
x^2 + y^2 = c - 1
Isso mostra que cada curva de nível é (quando existe) um círculo centrado na origem de raio r = raizc - 1.

Passo 3

Agora analisamos o que ocorre conforme o valor de c:
• Se c<1, então c-1<0 e não há ponto real satisfazendo x^2+y^2=c-1. Logo, a curva de nível está vazia.
• Se c=1, então c-1=0 e a equação vira x^2+y^2=0. Só a origem (0,0) pertence à curva de nível.
• Se c>1, então c-1>0 e obtemos um círculo de raio r=raizc-1 centrado em (0,0).

Passo 4

Em resumo, as curvas de nível de f são círculos concêntricos de centro na origem, com raio aumentando conforme c cresce, e não existem para c<1.

Resposta

Para cada nível c: se c<1, a curva de nível está vazia; se c=1, é o ponto (0,0); se c>1, é o círculo
(x,y)in R^2:;x^2+y^2=c-1
de raio raizc-1 centrado na origem.

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