Considere a função
. Faça um estudo das curvas de nível de
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar as curvas de nível da função
. Isso faz parte de análise de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de curva de nível, que é o conjunto
para cada valor real
.
Passo 2
Para encontrar a curva de nível associada a um valor
, igualamos
a
. Assim, temos:
Reorganizando a equação acima, obtemos:
Isso mostra que cada curva de nível é (quando existe) um círculo centrado na origem de raio
.
Passo 3
Agora analisamos o que ocorre conforme o valor de
:
• Se , então
e não há ponto real satisfazendo
. Logo, a curva de nível está vazia.
• Se , então
e a equação vira
. Só a origem
pertence à curva de nível.
• Se , então
e obtemos um círculo de raio
centrado em
.
• Se
• Se
• Se
Passo 4
Em resumo, as curvas de nível de
são círculos concêntricos de centro na origem, com raio aumentando conforme
cresce, e não existem para
.
Resposta
Para cada nível
: se
, a curva de nível está vazia; se
, é o ponto
; se
, é o círculo
de raio
centrado na origem.