Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. É um exercício de limites envolvendo função trigonométrica inversa. Para resolver, vamos usar as propriedades de monotonicidade de
e seus limites assintóticos.
Passo 2
Sabemos que a derivada de
é
, que é sempre positiva para todo
. Isso mostra que
é uma função estritamente crescente. Quando uma função é crescente, o limite quando
existe (pode ser finito ou infinito).
Passo 3
Também sabemos que
está limitada acima por
. De fato,
quando
, então, sendo
a inversa de
, seus valores se aproximam de
sem ultrapassar.
Passo 4
Pela convergência de funções monótonas e limitadas, o limite de
quando
é exatamente o supremo de sua imagem, ou seja
.