Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x infty arctan (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyarctan(x). É um exercício de limites envolvendo função trigonométrica inversa. Para resolver, vamos usar as propriedades de monotonicidade de arctan e seus limites assintóticos.

Passo 2

Sabemos que a derivada de arctan(x) é 11+x^2, que é sempre positiva para todo x. Isso mostra que arctan(x) é uma função estritamente crescente. Quando uma função é crescente, o limite quando xtoinfty existe (pode ser finito ou infinito).

Passo 3

Também sabemos que arctan(x) está limitada acima por tfracpi2. De fato, tan(y)toinfty quando ytotfracpi2^-, então, sendo arctan a inversa de tan, seus valores se aproximam de tfracpi2 sem ultrapassar.

Passo 4

Pela convergência de funções monótonas e limitadas, o limite de arctan(x) quando xtoinfty é exatamente o supremo de sua imagem, ou seja tfracpi2.

Resposta

tfracpi2

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