Calcule os limites das seguintes diferenças:
lim x infty raizx^3-1-raizx^3-x

Passo 1

Estamos calculando o limite
limxtoinftyl(raizx^3-1-raizx^3-xr)
O conteúdo envolve limites com raízes e vamos precisar usar racionalização (diferença de quadrados) e fatoração de potências.

Passo 2

Para racionalizar a diferença de raízes, multiplicamos a expressão por
(raiza-raizb)(raiza+raizb)=a-b
Isso usa a identidade
$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b $.

Passo 3

Aplicando a racionalização, temos:
raizx^3-1-raizx^3-x=(x^3-1)-(x^3-x)raizx^3-1+raizx^3-x=x-1raizx^3-1+raizx^3-x

Passo 4

Agora, no numerador fatoramos x e, nos radicais do denominador, extraímos raizx^3=x^3/2. Assim:
x-1raizx^3-1+raizx^3-x= racx(1-1/x)x^3/2l(raiz1-1/x^3+raiz1-1/x^2r)=x^-1/2,1-1/xraiz1-1/x^3+raiz1-1/x^2

Passo 5

Quando xtoinfty, temos 1-1/xto1 e raiz1-1/x^kto1. Logo a fração interna tende a 1/(1+1)=1/2 e x^-1/2to0. Portanto, o limite é 0.

Resposta

0

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