Calcule o limite de f(x) conforme indicado.
f(x)=raizx ln x, x mapsto 0+

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0^+raizx,ln x
Aqui temos a forma indeterminada 0cdot(-infty). Para resolver, vamos reescrever o produto como quociente e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos
raizx,ln x = ln x1/raizx
Quando xto0^+, o numerador ln xto -infty e o denominador 1/raizxto+infty, ficando uma forma -infty/infty adequada para L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
ddx(ln x)=1x, ddxl(x^-1/2r)=-tfrac12,x^-3/2
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limxto0^+ln x1/raizx =limxto0^+tfrac1x-tfrac12,x^-3/2 =limxto0^+l(-2,x^1/2r)

Passo 4

Como x^1/2to0 quando xto0^+, temos
limxto0^+l(-2,x^1/2r)=-2cdot0=0

Resposta

0

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