Derive as funções dadas
f(x)=x^2+x+1x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x) = x^2 + x + 1x + 1,
que está definida em todos os xneq -1. Para obter f'(x) podemos usar duas estratégias: aplicar diretamente a regra do quociente ou antes simplificar a expressão por divisão de polinômios e então derivar termos mais simples.

Passo 2

Vamos simplificar f(x) usando divisão de polinômios. Dividindo x^2+x+1 por x+1 obtemos:
x^2+x+1x+1 = x + 1x+1

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente. Sabemos que
  • ddx[x]=1,
  • e escrevendo 1x+1 = (x+1)^-1, sua derivada é
ddxl[(x+1)^-1r] = -1,(x+1)^-2cdot 1 = -1(x+1)^2
Somando as duas contribuições, fica
f'(x) = 1 ;-;1(x+1)^2

Resposta

f'(x) = 1 - 1(x+1)^2

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