Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int \frac{\ln (a x+b)}{\sqrt{a x+b}} \mathrm{~d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral ln(ax+b)raizax+b,dx
usando técnica de integração por partes. Vamos primeiro fazer uma substituição linear para transformar em uma forma padrão, e em seguida aplicar partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = a x + b,
de onde
dt = a,dx Longrightarrow dx = dta
Substituindo em x, obtemos
integral ln(ax+b)raizax+b,dx = 1a,integral t^-tfrac12,ln(t),dt

Passo 3

Definimos
J = integral t^-tfrac12,ln(t),dt
e aplicamos integração por partes escolhendo
u = ln(t), dv = t^-tfrac12,dt

Passo 4

Calculamos
du = dtt, v = integral t^-tfrac12,dt = 2,t^tfrac12
Pelo teorema de partes,
J = u,v - integral v,du = 2,t^tfrac12,ln(t) - 2integral t^tfrac12,dtt = 2,t^tfrac12,ln(t) - 2integral t^-tfrac12,dt

Passo 5

Agora calculamos a integral remanescente:
integral t^-tfrac12,dt = 2,t^tfrac12
Logo
J = 2,t^tfrac12,ln(t) - 4,t^tfrac12 + C

Passo 6

Voltando a x, temos t = ax+b e
integral ln(ax+b)raizax+b,dx = 1a,J = 2raizax+b,ln(ax+b)a - 4raizax+ba + C

Resposta

boxed integral ln(ax+b)raizax+b,dx = 2raizax+b,ln(ax+b)a - 4raizax+ba + C

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