Calcule o limite de f(x) conforme indicado.
f(x)=x^sen x, x mapsto 0+

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x)=x^sin x
quando xto0^+. Esse é um caso de forma indeterminada 0^0, e para resolver vamos usar a técnica de reescrever a potência como exponencial, aproveitando que a^b = e^bln a.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em função da exponencial:
f(x)=x^sin x =expl(sin xcdotln xr)

Passo 3

Agora calculamos o limite do expoente:
limxto0^+sin xln x =limxto0^+sin xx,l(xln xr)
Sabemos que limxto0^+sin xx=1 e limxto0^+xln x=0. Logo,
limxto0^+sin xln x =1cdot0 =0

Passo 4

Como a exponencial é contínua, temos
limxto0^+f(x) =limxto0^+expl(sin xln xr) =expl(limxto0^+sin xln xr) =exp(0) =1

Resposta

1

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