Determine os pontos críticos das funções e classifique-os:
y=x^33-5 x^22+6 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
y = x^33 - 5x^22 + 6x
e classificá-los em máximo ou mínimo. Vamos usar derivadas: primeiro achamos y' e igualamos a zero para obter os pontos críticos; depois usamos y'' para classificar.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando regras de potência:
y' = ddxl(x^33r) - ddxl(5x^22r) + ddx(6x) = x^2 - 5x + 6

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
y'=0Longrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0
Essa equação fatoriza como (x-2)(x-3)=0, logo
x=2ou x=3
Os pontos críticos são x=2 e x=3.

Passo 4

Agora usamos a segunda derivada para classificar:
y'' = ddx(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5
Em x=2:
y''(2) = 2cdot2 - 5 = -1 < 0
logo há um ponto de máximo local em x=2. Em x=3:
y''(3) = 2cdot3 - 5 = 1 > 0
logo há um ponto de mínimo local em x=3.

Passo 5

Calculamos também as ordenadas desses pontos:
y(2) = 2^33 - 5cdot2^22 + 6cdot2 = 83 - 10 + 12 = 143,
y(3) = 3^33 - 5cdot3^22 + 6cdot3 = 9 - 452 + 18 = 92

Resposta

Ponto crítico em x=2: l(2,tfrac143r), máximo local.
Ponto crítico em x=3: l(3,tfrac92r), mínimo local.

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