Calcule o limite pela definição:
(1) \lim _{x \rightarrow 4} 3 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to4}3x+5 usando a definição \varepsilon- \delta. O conteúdo aqui é limite de função e precisamos lembrar da definição formal: dizer que
\lim_{x\to a}f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Por inspeção (substituição direta), o candidato a valor do limite é
L = 3\cdot4 + 5 = 17.

Passo 3

Agora aplicamos a definição formal. Dados \varepsilon>0, calculamos
|f(x)-L| = |3x + 5 - 17| = |3x - 12| = 3\,|x-4|.
Para garantir 3\,|x-4|<\varepsilon, basta exigir |x-4|<\varepsilon/3. Logo, escolhendo
\delta = \frac{\varepsilon}{3},
vemos que sempre que 0<|x-4|<\delta então |f(x)-17|<\varepsilon. Isso prova que \lim_{x\to4}3x+5 = 17.

Resposta

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