\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+x}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to +\infty}\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}-3x\bigr).
Aqui temos uma forma do tipo “ \infty-\infty”, então uma boa estratégia é racionalizar a expressão usando o conjugado \sqrt{4x^{2}+x}+3x.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
\sqrt{4x^{2}+x}-3x =\frac{\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{4x^{2}+x}+3x\bigr)} {\sqrt{4x^{2}+x}+3x} =\frac{4x^{2}+x -9x^{2}}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x} =\frac{-5x^{2}+x}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x}.

Passo 3

No numerador fatoramos x e no denominador também:
\frac{-5x^{2}+x}{\sqrt{4x^{2}+x}+3x} =\frac{x(-5x+1)}{x\bigl(\sqrt{4+\tfrac1x}+3\bigr)} =\frac{-5x+1}{\sqrt{4+\tfrac1x}+3}.
Quando x\to+\infty, \sqrt{4+\tfrac1x}\to2, logo o denominador tende a 2+3=5 e o numerador tende a -5x. Assim
\frac{-5x+1}{\sqrt{4+\tfrac1x}+3}\sim\frac{-5x}{5}=-x\quad\longrightarrow\,-\infty.

Resposta

-\infty

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