Calcule o limite pela definição:
(2) \lim _{x \rightarrow 1} x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to 1}x
existe e vale algum L. O conteúdo aqui é a definição formal: dizer que
\lim_{x\to a}f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Para a função f(x)=x e o ponto a=1, o candidato natural ao limite é L=1. Vamos calcular a diferença
|f(x)-L| = |x-1|.

Passo 3

Queremos garantir |x-1|<\varepsilon sempre que 0<|x-1|<\delta. Basta escolher \delta = \varepsilon. Então, se 0<|x-1|<\delta, segue imediatamente que
|f(x)-1| = |x-1| < \varepsilon,
o que completa a prova pela definição de limite.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1}x = 1

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