Calcule o limite pela definição:
(10) \lim _{x \rightarrow 0} 8 x^{2}+x+1
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\bigl(8x^{2}+x+1\bigr)
usando a definição epsilon-delta de limite. O conteúdo é a definição formal de limite para funções reais, e vamos aplicar uma estimativa para mostrar que a expressão se aproxima de um certo valor quando x\to0.
Passo 2
Denotemos f(x)=8x^{2}+x+1. Pela continuidade de polinômios, o palpite natural para o limite em x\to0 é
L=f(0)=8\cdot0^{2}+0+1=1.
Passo 3
Vamos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<\delta, segue
|f(x)-L|<\varepsilon.
Note que
|f(x)-1|=\bigl|8x^{2}+x\bigr|\le 8|x|^{2}+|x|.
Se exigirmos ainda que |x|<1, então 8|x|^{2}\le8|x| e obtemos