Encontre a solução geral da equação
(*) Atenção: Apresente soluções mais detalhadas possível para a questão abaixo, deixando todos cálculos em detalhes. Isso também faz parte da avaliação. Soluções resumidas serão penalizadas!
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total imprópria
e pede a solução geral.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar se a forma é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar se a forma é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado.
Passo 2
Identificamos
Para testar exatidão, comparamos
Como
, a equação não é exata à partida.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
que realmente é função apenas de
. Logo, podemos tomar
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
isto é
Passo 5
Verificamos agora que a forma é exata:
ambas iguais a
. Portanto existe uma função potencial
tal que
Passo 6
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 7
Calculamos
e igualamos a
:
Isso implica
, logo
.
Passo 8
A solução implícita vem de
. Desprezando constantes aditivas, temos
que é a solução geral da equação diferencial original.