Encontre a solução geral da equação
2 \operatorname{sen}(y) \cos (x) d x+\cos (y) \operatorname{sen}(x) d y=0
(*) Atenção: Apresente soluções mais detalhadas possível para a questão abaixo, deixando todos cálculos em detalhes. Isso também faz parte da avaliação. Soluções resumidas serão penalizadas!

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total imprópria
2\sin(y)\cos(x)\,dx \;+\;\cos(y)\sin(x)\,dy \;=\;0
e pede a solução geral.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar se a forma é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2\sin(y)\cos(x), \quad N(x,y)=\cos(y)\sin(x).
Para testar exatidão, comparamos
\frac{\partial M}{\partial y} =2\cos(y)\cos(x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(y)\cos(x).
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata à partida.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{2\cos(y)\cos(x)-\cos(y)\cos(x)}{\cos(y)\sin(x)} =\frac{\cos(y)\cos(x)}{\cos(y)\sin(x)} =\cot(x),
que realmente é função apenas de x. Logo, podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\cot(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(\ln\sin(x)\bigr) =\sin(x).

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=\sin(x), obtendo
2\sin(y)\cos(x)\,\sin(x)\,dx \;+\; \cos(y)\sin(x)\,\sin(x)\,dy =0,
isto é
\widetilde M\,dx+\widetilde N\,dy=0 \quad\text{com}\quad \widetilde M=2\sin(y)\sin(x)\cos(x), \quad \widetilde N=\cos(y)\sin^2(x).

Passo 5

Verificamos agora que a forma é exata:
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} =2\cos(y)\sin(x)\cos(x), \quad \frac{\partial\widetilde N}{\partial x} =\cos(y)\,2\sin(x)\cos(x),
ambas iguais a 2\cos(y)\sin(x)\cos(x). Portanto existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\widetilde M, \quad \frac{\partial\Psi}{\partial y}=\widetilde N.

Passo 6

Para achar \Psi, integramos \widetilde M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int 2\sin(y)\sin(x)\cos(x)\,dx =\sin(y)\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx =\sin(y)\,\sin^2(x)+g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 7

Calculamos \partial\Psi/\partial y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial\Psi}{\partial y} =\cos(y)\sin^2(x)+g'(y) \stackrel{!}{=}\cos(y)\sin^2(x).
Isso implica g'(y)=0, logo g(y)=\text{constante}.

Passo 8

A solução implícita vem de \Psi(x,y)=C. Desprezando constantes aditivas, temos
\sin(y)\,\sin^2(x)=C,
que é a solução geral da equação diferencial original.

Resposta

\displaystyle \sin^2(x)\,\sin(y)=C, onde C é constante arbitrária.

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