Calcule o limite ou determine se não existe
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função
quando os pontos
se aproximam de
. Isso envolve conceitos de limites em várias variáveis, onde analisamos o comportamento da função perto de um ponto específico.
Passo 2
Para resolver esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Primeiro, vamos tentar nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, onde
. Substituindo
na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, onde
. Substituindo
na função:
Pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Agora, ao deixar
se aproximar de 0:
O limite depende do valor de
. Por exemplo, se
, o limite é
; se
, o limite é
. Como o limite varia com
, isso indica que o limite geral não é o mesmo por todos os caminhos.
Passo 6
Como encontramos caminhos diferentes que levam a valores de limites distintos, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.