Calcule o limite ou determine se não existe lim (x, y) (0,0) (x+x^2) yx^2+x^4+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função
(x + x^2) yx^2 + x^4 + y^2
quando os pontos se aproximam de . Isso envolve conceitos de limites em várias variáveis, onde analisamos o comportamento da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Para resolver esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Primeiro, vamos tentar nos aproximar de (x + x^2) cdot 0x^2 + x^4 + 0^2 = 0x^2 + x^4 = 0 ao longo do eixo , ou seja, onde . Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos nos aproximar de (0 + 0^2) y0^2 + 0^4 + y^2 = 0 cdot yy^2 = 0 ao longo do eixo , ou seja, onde . Substituindo na função:
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, (x + x^2) cdot kxx^2 + x^4 + (kx)^2 = kx(x + x^2)x^2 + x^4 + k^2x^2 = kx^2 + kx^3x^2(1 + x^2 + k^2) , onde k + kx1 + x^2 + k^2 é uma constante. Substituindo k + 01 + 0 + k^2 = k1 + k^2 na função:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Agora, ao deixar se aproximar de 0:
O limite depende do valor de . Por exemplo, se , o limite é ; se , o limite é . Como o limite varia com , isso indica que o limite geral não é o mesmo por todos os caminhos.

Passo 6

Como encontramos caminhos diferentes que levam a valores de limites distintos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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