Determine se
é contínua em seu domínio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a função
é contínua no seu domínio. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.
Passo 3
A função
é definida de duas maneiras:
- Para
, - Para
,
A gente precisa verificar a continuidade em todos os pontos do domínio, mas a atenção especial vai para o ponto onde a definição muda, ou seja, em
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) e pela direita (
).
-
Quando
: Sabemos que . Se substituirmos, temos: -
Quando
: Então, o limite quandose aproxima de 0 pela direita é simplesmente .
Passo 5
Agora, vamos comparar os limites:
Como os dois limites são iguais e também são iguais ao valor da função em
(que é
), isso significa que não tem descontinuidade nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.