Determine se f é contínua em seu domínio
f(x, y)=rsen(x y)x, x<0 y, x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a função é contínua no seu domínio. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.

Passo 3

A função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
A gente precisa verificar a continuidade em todos os pontos do domínio, mas a atenção especial vai para o ponto onde a definição muda, ou seja, em .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de limx to 0^- sen(xy)x quando limx to 0^- sen(xy)x = y cdot limx to 0^- sen(xy)xy = y cdot 1 = y se aproxima de 0 pela esquerda ( f(x, y) = y ) e pela direita ( ).
  • Quando :
    Sabemos que . Se substituirmos , temos:
  • Quando :
    Então, o limite quando se aproxima de 0 pela direita é simplesmente .

Passo 5

Agora, vamos comparar os limites:
limx to 0^- f(x, y) = y e limx to 0^+ f(x, y) = y
Como os dois limites são iguais e também são iguais ao valor da função em (que é ), isso significa que não tem descontinuidade nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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