Se u=(3,-1,2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
(u times v) times w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem três vetores:
  • u = (3, -1, 2)
  • v = (2, 4, -1)
  • w = (-1, 0, 1)
O que a gente precisa achar é o produto vetorial de (u times v) com w. Para isso, vamos usar as propriedades dos produtos vetoriais e seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de u e v, ou seja, u times v. O produto vetorial entre dois vetores em 3 dimensões é dado por:
u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 2 & 4 & -1

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
u times v = i cdot ( (-1)(-1) - (2)(4) ) - j cdot ( 3(-1) - (2)(2) ) + k cdot ( 3(4) - (-1)(2) )
Calculando cada parte:
  • Componente i:
(-1)(-1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7
  • Componente j:
3(-1) - (2)(2) = -3 - 4 = -7
  • Componente k:
3(4) - (-1)(2) = 12 + 2 = 14

Passo 4

Assim, temos:
u times v = -7i - (-7)j + 14k = (-7, 7, 14)

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto vetorial desse resultado com w, ou seja, (u times v) times w = (-7, 7, 14) times (-1, 0, 1).
Aplicando novamente a fórmula do produto vetorial:
(-7, 7, 14) times (-1, 0, 1) = i & j & k -7 & 7 & 14 -1 & 0 & 1

Passo 6

Calculando o determinante:
i cdot (7 cdot 1 - 14 cdot 0) - j cdot (-7 cdot 1 - 14 cdot (-1)) + k cdot (-7 cdot 0 - 7 cdot (-1))
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
7 cdot 1 - 14 cdot 0 = 7 - 0 = 7
  • Componente j:
-7 cdot 1 - 14 cdot (-1) = -7 + 14 = 7
  • Componente k:
-7 cdot 0 - 7 cdot (-1) = 0 + 7 = 7

Passo 7

Portanto, o resultado é:
(u times v) times w = 7i - 7j + 7k = (7, -7, 7)

Resposta

O resultado de (u times v) times w é o vetor (7, -7, 7).

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