Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1), calcule:
a altura do triângulo relativa à base definida pelo vetor v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1). A pergunta quer saber a altura do triângulo em relação à base que é o vetor v. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto vetorial e como calcular áreas de triângulos usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado pelos vetores.
A fórmula do produto vetorial é:
u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 -2 & 2 & 1
Vamos calcular isso:
u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2))
= i(-1 - 4) - j(3 + 4) + k(6 - 2)
= i(-5) - j(7) + k(4)
= (-5, -7, 4)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo. A fórmula para a magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 = 3raiz10

Passo 4

Como queremos a área do triângulo e não do paralelogramo, lembramos que a área do triângulo é metade da área do paralelogramo. Então:
Área do triângulo = 12 |u times v| = 12 times 3raiz10 = 3raiz102 Áâ

Passo 5

A altura do triângulo em relação à base v pode ser encontrada pela fórmula:
Área = 12 times base times aÁ
Rearranjando para achar a altura:
aÁ
Já temos a área, agora precisamos da magnitude da base v:
|v| = raiz(-2)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Então:
a

Resposta

A altura do triângulo relativa à base definida pelo vetor v é raiz10 unidades.

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