Dados os vetores e , calcule:
a altura do triângulo relativa à base definida pelo vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, e . A pergunta quer saber a altura do triângulo em relação à base que é o vetor . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto vetorial e como calcular áreas de triângulos usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores em três dimensões nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado pelos vetores.
A fórmula do produto vetorial é:
Vamos calcular isso:
u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2))
= i(-1 - 4) - j(3 + 4) + k(6 - 2)
= i(-5) - j(7) + k(4)
= (-5, -7, 4)
Passo 3
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo. A fórmula para a magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é: