Calcule o limite, se ele existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão depende da variável
. - Queremos o comportamento dessa fração quando
se aproxima de .
Passo 2
Teste direto de substituição: se eu colocar
na expressão obtenho
Como
é uma forma indeterminada, não podemos concluir o valor do limite por simples substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Técnica escolhida: racionalizar o numerador usando a conjugada. A ideia é multiplicar numerador e denominador por
. Lembre-se da identidade
. Aqui definimos
Multiplicamos a fração por
, o que não altera o valor da expressão para
.
Passo 4
Aplicando a multiplicação pela conjugada:
Usando a identidade da diferença de quadrados no numerador:
Portanto a expressão simplifica para
Como estamos interessados no limite quando
e consideramos
nesta manipulação, podemos cancelar o fator
:
Passo 5
Agora que a indeterminação foi removida, podemos tirar o limite substituindo
na expressão simplificada. A função
é contínua no ponto
, logo
Como
, obtemos
Passo 6
(Comentário extra, para fixar a ideia) Outra forma rápida de ver esse limite é reconhecer que ele é exatamente a definição do derivada da função
em
:
Como
, temos
. Isso confirma o resultado anterior.