Calcule o limite, se ele existe.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
Informações dadas:
  • A expressão depende da variável h.
  • Queremos o comportamento dessa fração quando h se aproxima de 0.

Passo 2

Teste direto de substituição: se eu colocar h=0 na expressão obtenho
\frac{\sqrt{9+0}-3}{0}=\frac{3-3}{0}=\frac{0}{0}.
Como \frac{0}{0} é uma forma indeterminada, não podemos concluir o valor do limite por simples substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Técnica escolhida: racionalizar o numerador usando a conjugada. A ideia é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{9+h}+3. Lembre-se da identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui definimos
a=\sqrt{9+h},\qquad b=3.
Multiplicamos a fração por \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}=1, o que não altera o valor da expressão para h\neq0.

Passo 4

Aplicando a multiplicação pela conjugada:
\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3} =\frac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)}.
Usando a identidade da diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{9+h})^2-3^2=(9+h)-9=h.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}.
Como estamos interessados no limite quando h\to0 e consideramos h\neq0 nesta manipulação, podemos cancelar o fator h:
\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}\qquad\text{(para }h\neq0\text{)}.

Passo 5

Agora que a indeterminação foi removida, podemos tirar o limite substituindo h\to0 na expressão simplificada. A função g(h)=\sqrt{9+h}+3 é contínua no ponto h=0, logo
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{\lim_{h\to0}(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}.
Como \sqrt{9}=3, obtemos
\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 6

(Comentário extra, para fixar a ideia) Outra forma rápida de ver esse limite é reconhecer que ele é exatamente a definição do derivada da função f(x)=\sqrt{x} em x=9:
f'(9)=\lim_{h\to0}\frac{f(9+h)-f(9)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
Como f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, temos f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{6}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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