Calcule o limite, se existir.
lim x 9 x^2-81raizx-3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto9x^2-81raizx-3
Isso é um limite que, por substituição direta, gera a forma indeterminada 0/0. Vamos usar fatoração de diferença de quadrados e simplificação para remover essa indeterminação.

Passo 2

Substituindo x=9 no numerador e denominador temos
numerador: 9^2-81=81-81=0
denominador: raiz9-3=3-3=0,
logo aparece a forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Note que a diferença de quadrados dá
x^2-81=(x-9)(x+9)
Como
x-9=(raizx-3)(raizx+3),
segue que
x^2-81=(raizx-3)(raizx+3)(x+9)

Passo 4

Assim, o quociente original pode ser reescrito como
(raizx-3)(raizx+3)(x+9)raizx-3
Para xneq9 podemos cancelar o fator raizx-3, obtendo
(raizx+3)(x+9)
Logo
limxto9x^2-81raizx-3 =limxto9(raizx+3)(x+9)

Passo 5

Basta agora substituir x=9 em (raizx+3)(x+9):
raiz9+3=3+3=6 e 9+9=18,
portanto o limite é 6cdot18=108.

Resposta

108

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