Exemplo 5.1: Seja f(x, y)=x^2+y^2.
Determine o vetor unitário u=(a, b) segundo o qual é máxima a derivada direcional partial fpartial u(4,2) e calcule seu valor.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^2+y^2 e pede o vetor unitário vec u=(a,b) que maximiza a derivada direcional de f no ponto (4,2), bem como o valor dessa derivada. O conteúdo aqui é gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para encontrar a direção de máximo crescimento usamos o gradiente de f, que é o vetor dos parciais. Isto é,
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)
e como partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y, fica
nabla f(x,y)=(2x,2y)

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em (4,2):
nabla f(4,2)=(2cdot 4,;2cdot 2)=(8,4)

Passo 4

A derivada direcional em direção unitária vec u é nabla f(4,2)cdotvec u e atinge seu máximo quando vec u está alinhado com nabla f(4,2). Logo o vetor unitário é
vec u=nabla f(4,2)|nabla f(4,2)|=(8,4)raiz8^2+4^2=(8,4)raiz80=l(2raiz5,1raiz5r)

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é simplesmente o comprimento do gradiente em (4,2):
max|vec u|=1partial fpartial vec u(4,2)=|nabla f(4,2)|=raiz80=4raiz5

Resposta

O vetor unitário que maximiza a derivada direcional em (4,2) é
vec u=l(2raiz5,1raiz5r),
e o valor máximo da derivada direcional é
4raiz5

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