Exemplo 5.1: Seja
.
Determine o vetor unitário
segundo o qual é máxima a derivada direcional
e calcule seu valor.
Determine o vetor unitário
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o vetor unitário
que maximiza a derivada direcional de
no ponto
, bem como o valor dessa derivada. O conteúdo aqui é gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para encontrar a direção de máximo crescimento usamos o gradiente de
, que é o vetor dos parciais. Isto é,
e como
,
, fica
Passo 3
Avaliaremos o gradiente em
:
Passo 4
A derivada direcional em direção unitária
é
e atinge seu máximo quando
está alinhado com
. Logo o vetor unitário é
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional é simplesmente o comprimento do gradiente em
:
Resposta
O vetor unitário que maximiza a derivada direcional em
é
e o valor máximo da derivada direcional é