Exemplo 5.1: Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule, pelos dois processos, partial fpartial u(Xo) quando:
u=(a, b) e X0=(x, y), onde |u|=1;

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 no ponto X0=(x,y) ao longo do vetor unitário vec u=(a,b). Vamos usar dois processos:
  1. A definição por limite
partial fpartial vec u(X0) =limhto0f(X0+hvec u)-f(X0)h
  1. A fórmula com o gradiente
partial fpartial vec u(X0) =nabla f(X0)cdotvec u

Passo 2

Pelo processo da definição, primeiro calculamos
f(x+ha,;y+hb) =(x+ha)^2+(y+hb)^2 =x^2+y^2+2h,(ax+by)+h^2,(a^2+b^2)
Então a diferença quociente é
f(x+ha,y+hb)-f(x,y)h =2,(ax+by)+h,(a^2+b^2)
Fazendo hto0, resta
partial fpartial vec u(X0) =2,(ax+by)

Passo 3

Pelo processo do gradiente, temos
nabla f(x,y)=(2x,;2y)
Logo
nabla f(x,y)cdot(a,b) =2x,a+2y,b =2,(ax+by),
o mesmo valor obtido pelo limite.

Resposta

partial fpartial vec u(X0) =2,l(a x + b yr)

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