Utilize o método da Variação dos Parâmetros para resolver os PVI a seguir.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=1t^2(e^-t)^2, t>0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' + 4y' + 4y = e^-2tt^2, t>0,
que é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método da variação dos parâmetros, que consiste em:
1. achar a solução geral da homogênea associada,
2. montar o ansatz yp = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t) impondo condições para determinar u1 e u2,
3. obter a solução geral somando yh e yp.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0
com raiz dupla r = -2. Logo, as soluções fundamentais são
y1(t) = e^-2t, y2(t) = t,e^-2t

Passo 3

Pela variação dos parâmetros, buscamos
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
sujeito às condições
u1'y1 + u2'y2 = 0, u1'y1' + u2'y2' = e^-2tt^2

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^-2tl(e^-2t(1-2t)r)-(-2e^-2t)(t e^-2t) = e^-4t

Passo 5

As fórmulas para u1' e u2' são
u1' = -y2,g(t)W(t), u2' = y1,g(t)W(t),
onde g(t)=e^-2t/t^2. Assim,
u1' = -t,e^-2t,l(e^-2t/t^2r)e^-4t = -t,e^-4tt^2e^4t = -1t,
u2' = e^-2t,l(e^-2t/t^2r)e^-4t = e^-4tt^2e^4t = 1t^2

Passo 6

Integramos para obter u1,u2:
u1(t) = integral u1',dt = integral l(-1tr)dt = -ln t,
u2(t) = integral u2',dt = integral 1t^2,dt = -1t

Passo 7

Agora montamos
yp = u1y1 + u2y2 = l(-ln tr)e^-2t + l(-1tr)l(t,e^-2tr) = -e^-2tln t - e^-2t
Portanto, a solução geral do PVI é
y(t) = yh + yp = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t ;-; e^-2tl(ln t + 1r), t>0

Resposta

boxedy(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t - e^-2tl(ln t + 1r), t>0

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