Calcule o limite, se existir.
(a) lim x 0 (-5+x)^2-25x
(b) lim x 0 raiz9+x-3x
© lim x 0(1x-1x^2+x)^2
(d) lim x -4 1 / 4+1 / x4+x
(e) lim x 16 4-raiz1616 x-x^2

Passo 1

A questão pede para calcular cinco limites de funções reais. O conteúdo envolve limites algébricos e técnicas de simplificação para resolver indeterminações do tipo 0/0. Vamos usar expansão de polinômios, fatoração, racionalização de radicais e manipulação de frações para eliminar essas indeterminações.

Passo 2

Para o item (a), temos o limite
limxto 0 (-5+x)^2 -25x
Primeiro, expandimos o quadrado:
(-5+x)^2 = 25 -10x + x^2,
de modo que
(-5+x)^2 -25 = (25 -10x + x^2) -25 = -10x + x^2 = x(-10 + x)
Agora substituímos na fração e simplificamos x:
x(-10 + x)x = -10 + x
Como xto 0, o limite é -10.

Passo 3

Para o item (b), avaliamos
limxto 0 raiz9+x - 3x
Racionalizamos pelo conjugado raiz9+x+3:
raiz9+x - 3x cdot raiz9+x+3raiz9+x+3 = (9+x) - 9xl(raiz9+x+3r) = xx(raiz9+x+3) = 1raiz9+x+3
Tomando xto 0, fica 1/(3+3)=1/6.

Passo 4

No item ©, temos
limxto 0l(1x - 1x^2 + xr)^2
Note que x^2+x = x(x+1), então
1x - 1x(x+1) = x+1 -1x(x+1) = xx(x+1) = 1x+1
Logo a expressão ao quadrado é
l(1x+1r)^2,
que, ao levar xto 0, vale 1/1^2 =1.

Passo 5

No item (d), o limite é
limxto -4 1/4 + 1/x4+x
No numerador, juntamos frações com denominador comum 4x:
1/4 + 1/x = x + 44x
Assim
(x+4)/(4x)4+x = x+44x(x+4) = 14x
Como xto -4, o valor é 1/(4cdot(-4)) = -1/16.

Passo 6

No item (e), observamos que a raiz no numerador é constante:
4 - raiz16 = 4 - 4 = 0
Portanto, para xneq 16 a função vale
016x - x^2 = 0,
e, mesmo que o denominador tenda a zero, a fração é identicamente zero perto de x=16. Então o limite é 0.

Resposta

(a) = -10; (b) = \tfrac16; © = 1; (d) = -\tfrac1{16}; (e) = 0

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