Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=1+2 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar o argumento do número complexo z = 1 + 2i, escrever ele na forma polar e representar geometricamente. Basicamente, vamos mexer com números complexos, que são parte da matéria de Álgebra ou Análise Complexa. Para isso, vamos precisar entender como calcular o argumento (que é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo) e como converter a forma algébrica para a forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z = a + bi pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas (a, b). No nosso caso, z = 1 + 2i, então a = 1 e b = 2.

Passo 3

Para encontrar o argumento de z, que é o ângulo theta que o número forma com o eixo real, usamos a função arco-tangente. A fórmula é:
theta = tan^-1(ba)
Substituindo os valores:
theta = tan^-1(21)

Passo 4

Calculando o valor da tangente inversa:
theta = tan^-1(2) approx 63,43^circ
Então, o argumento de z é aproximadamente 63,43^circ.

Passo 5

Agora, vamos escrever z na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
z = r(cos theta + i sin theta)
Onde:
  • r é o módulo de z, que representa a distância do ponto até a origem.
  • theta é o argumento que já calculamos.
Primeiro, vamos encontrar r usando a fórmula:
r = raiza^2 + b^2 = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,236

Passo 6

Substituindo r e theta na forma polar:
z = raiz5 ( cos 63,43^circ + i sin 63,43^circ )
Alternativamente, também podemos escrever usando a notação exponencial de Euler:
z = raiz5 , e^i,63,43^circ

Passo 7

Por fim, para representar geometricamente, plotamos o ponto (1, 2) no plano complexo. Esse ponto está a uma distância raiz5 da origem e forma um ângulo de aproximadamente 63,43^circ com o eixo real positivo.

Resposta

O número complexo z = 1 + 2i tem argumento de aproximadamente 63,43^circ, pode ser escrito na forma polar como z = raiz5 ( cos 63,43^circ + i sin 63,43^circ ), e sua representação geométrica é um ponto no plano complexo a uma distância raiz5 da origem formando um ângulo de 63,43^circ com o eixo real.

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