Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar o argumento do número complexo
, escrever ele na forma polar e representar geometricamente. Basicamente, vamos mexer com números complexos, que são parte da matéria de Álgebra ou Análise Complexa. Para isso, vamos precisar entender como calcular o argumento (que é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo) e como converter a forma algébrica para a forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas
. No nosso caso,
, então
e
.
Passo 3
Para encontrar o argumento de
, que é o ângulo
que o número forma com o eixo real, usamos a função arco-tangente. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando o valor da tangente inversa:
Então, o argumento de
é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos escrever
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
Onde:
-
é o módulo de , que representa a distância do ponto até a origem. -
é o argumento que já calculamos.
Primeiro, vamos encontrar
usando a fórmula:
Passo 6
Substituindo
e
na forma polar:
Alternativamente, também podemos escrever usando a notação exponencial de Euler:
Passo 7
Por fim, para representar geometricamente, plotamos o ponto
no plano complexo. Esse ponto está a uma distância
da origem e forma um ângulo de aproximadamente
com o eixo real positivo.
Resposta
O número complexo
tem argumento de aproximadamente
, pode ser escrito na forma polar como
, e sua representação geométrica é um ponto no plano complexo a uma distância
da origem formando um ângulo de
com o eixo real.