Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o argumento do número complexo $ z = -3 - 2i $, escrever esse número na forma polar e representá-lo geometricamente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de números complexos, como módulo e argumento, além de saber converter a forma algébrica para a forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ z = a + bi $ é dado por:
No nosso caso, $ a = -3 $ e $ b = -2 $. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento de $ z $, que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. A fórmula para o argumento é:
Substituindo os valores:
Como ambos $ a $ e $ b $ são negativos, o número complexo está no terceiro quadrante. Portanto, devemos adicionar $ 180^\circ $ ao ângulo calculado:
Passo 4
Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar de um número complexo é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para representar geometricamente, vamos plotar o ponto correspondente a $ z $ no plano complexo. No eixo horizontal (real) colocamos -3 e no eixo vertical (imaginário) colocamos -2. O ponto (-3, -2) estará no terceiro quadrante, formando um ângulo de aproximadamente $ 213,69^\circ $ com o eixo real positivo.
Resposta
O número complexo $ z = -3 - 2i $ tem um argumento de aproximadamente $ 213,69^\circ $, pode ser escrito na forma polar como $ z = \sqrt{13} \left( \cos 213,69^\circ + i \sin 213,69^\circ \right) $ e está localizado no terceiro quadrante do plano complexo.