Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o argumento do número complexo $ z = -\sqrt{3} + i $, escrever ele na forma polar e representá-lo geometricamente. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma retangular e a forma polar, além de entender o que é o argumento de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária de $ z $. No número complexo $ z = -\sqrt{3} + i $:
- A parte real ($ a $) é $ -\sqrt{3} $.
- A parte imaginária ($ b $) é $ 1 $ (porque $ i = 1i $).
Passo 3
Agora, para encontrar o argumento ($ \theta $) de $ z $, usamos a fórmula:
Mas atenção! Como a parte real ($ a
b $) é positiva, o número está no segundo quadrante do plano complexo. Portanto, precisamos ajustar o ângulo para refletir isso.
Passo 4
Vamos calcular o valor da tangente:
Então,
Sabemos que $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ $, mas como estamos no segundo quadrante, o argumento será:
Convertendo para radianos:
Passo 5
Agora, vamos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar de um número complexo é:
Onde $ r $ é o módulo de $ z $ e $ \theta $ é o argumento que acabamos de encontrar.
Passo 6
Primeiro, calculamos o módulo ($ r $) de $ z $:
Passo 7
Agora, substituímos $ r $ e $ \theta $ na forma polar:
Passo 8
Finalmente, para representar $ z $ geometricamente, plotamos no plano complexo:
- O eixo horizontal representa a parte real ($ -\sqrt{3} $).
- O eixo vertical representa a parte imaginária ($ 1 $).
- O ponto fica no segundo quadrante, formando um ângulo de $ \frac{5\pi}{6} $ radianos com o eixo real positivo e a distância do ponto à origem é 2 unidades.
Resposta
O argumento de $ z = -\sqrt{3} + i $ é $ \frac{5\pi}{6} $ radianos. A forma polar de $ z $ é $ 2\left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) $. Geometricamente, $ z $ está no segundo quadrante do plano complexo, a 2 unidades de distância da origem e formando um ângulo de $ \frac{5\pi}{6} $ radianos com o eixo real positivo.