Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=-raiz3+i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o argumento do número complexo $ z = -\sqrt{3} + i $, escrever ele na forma polar e representá-lo geometricamente. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma retangular e a forma polar, além de entender o que é o argumento de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária de $ z $. No número complexo $ z = -\sqrt{3} + i $:
  • A parte real ($ a $) é $ -\sqrt{3} $.
  • A parte imaginária ($ b $) é $ 1 $ (porque $ i = 1i $).

Passo 3

Agora, para encontrar o argumento ($ \theta $) de $ z $, usamos a fórmula:
theta
Mas atenção! Como a parte real ($ a z éá b $) é positiva, o número está no segundo quadrante do plano complexo. Portanto, precisamos ajustar o ângulo para refletir isso.

Passo 4

Vamos calcular o valor da tangente:
ba = 1-raiz3 = -1raiz3
Então,
theta = arctan(-1raiz3)
Sabemos que $ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ $, mas como estamos no segundo quadrante, o argumento será:
arctan(1raiz3) = 30^circ
Convertendo para radianos:
theta = 180^circ - 30^circ = 150^circ

Passo 5

Agora, vamos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar de um número complexo é:
z
Onde $ r $ é o módulo de $ z $ e $ \theta $ é o argumento que acabamos de encontrar.

Passo 6

Primeiro, calculamos o módulo ($ r $) de $ z $:
r

Passo 7

Agora, substituímos $ r $ e $ \theta $ na forma polar:
r

Passo 8

Finalmente, para representar $ z $ geometricamente, plotamos no plano complexo:
  • O eixo horizontal representa a parte real ($ -\sqrt{3} $).
  • O eixo vertical representa a parte imaginária ($ 1 $).
  • O ponto fica no segundo quadrante, formando um ângulo de $ \frac{5\pi}{6} $ radianos com o eixo real positivo e a distância do ponto à origem é 2 unidades.

Resposta

O argumento de $ z = -\sqrt{3} + i $ é $ \frac{5\pi}{6} $ radianos. A forma polar de $ z $ é $ 2\left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) $. Geometricamente, $ z $ está no segundo quadrante do plano complexo, a 2 unidades de distância da origem e formando um ângulo de $ \frac{5\pi}{6} $ radianos com o eixo real positivo.

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