Calcule o limite, quando ele existir.
lim \frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi} (Sugestão: seja t=x-\pi.)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi}
Isso envolve cálculo de limite de uma função que fica na forma \tfrac{0}{0} quando x\to\pi. A sugestão é usar a mudança de variável t = x - \pi, o que nos leva ao limite fundamental \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = x - \pi,
temos x = t + \pi e, quando x\to\pi, então t\to0. Assim o limite original vira
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi} =\lim_{t\to0}\frac{\sin(t+\pi)}{t}.

Passo 3

Usamos a identidade de soma no argumento do seno:
\sin(t+\pi)=\sin t\cos\pi + \cos t\sin\pi = \sin t\cdot(-1) + \cos t\cdot0 = -\sin t.
Logo
\lim_{t\to0}\frac{\sin(t+\pi)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{-\sin t}{t} =-\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}.

Passo 4

Conhecemos o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Portanto
-\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados