Calcule o limite, quando ele existir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{3} 2 x}{4 x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^3(2x)}{4x^5}.
O conteúdo aqui é usar a expansão em série de Taylor de \operatorname{sen}(2x) em torno de x=0 até a ordem necessária para identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Vamos expandir \operatorname{sen}(2x) em série de Taylor até termos de ordem x^3:
\operatorname{sen}(2x)=2x-\frac{(2x)^3}{6}+O(x^5) =2x-\frac{8}{6}x^3+O(x^5) =2x-\frac{4}{3}x^3+O(x^5).

Passo 3

Agora elevamos essa expansão ao cubo para obter \operatorname{sen}^3(2x). Usando (a+b)^3=a^3+3a^2b+O(b^2) com a=2x e b=-\tfrac{4}{3}x^3, temos
\operatorname{sen}^3(2x) =(2x)^3+3\,(2x)^2\Bigl(-\tfrac{4}{3}x^3\Bigr)+O(x^7) =8x^3-16x^5+O(x^7).

Passo 4

Substituindo em \frac{\operatorname{sen}^3(2x)}{4x^5},
\frac{\operatorname{sen}^3(2x)}{4x^5} =\frac{8x^3-16x^5+O(x^7)}{4x^5} =\frac{8x^3}{4x^5}-\frac{16x^5}{4x^5}+O(x^2) =2\,x^{-2}-4+O(x^2).
À medida que x\to0, o termo 2\,x^{-2} domina e tende a +\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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