Calcule o limite, quando ele existir.
lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}^{4} 2 x}{4 x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}}.
O conteúdo é cálculo de limites usando a aproximação para ângulos pequenos, baseada no limite conhecido
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 2

Escrevemos \tan(2x) em função de \frac{\tan(2x)}{2x}. Como
\tan^{4}(2x)=\Bigl(\tan(2x)\Bigr)^{4} =\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\cdot2x\Bigr)^{4} =\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}\,(2x)^{4} =\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}\,16x^{4},
substituímos no quociente:

Passo 3

\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}} =\frac{\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}\,16x^{4}}{4x^{4}} =4\;\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}.
Ao tomar x\to0, temos \frac{\tan(2x)}{2x}\to1, logo
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}}=4\cdot1^{4}=4.

Resposta

\,4

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