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Analise as seguintes afirmaçōes.
A) Considere \mathbf{R}
com a métrica usual e
A=[0,1] .
Nessas condiçōes, a fronteira de A, denotada por
F_{r}(A),
é o conjunto
F_{r}(A)=\{0,1\} .
B) 0 é ponto de acumulaçāo do conjunto
X:=\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}
C) Se ( M, d ) é um espaço métrico e X é um subconjunto de M, entāo
X \subset \bar{X}
D) Todo ponto de acumulação de um conjunto X num espaço métrico M é também um ponto aderente a X.
Estāo corretas
Escolha uma opção:
A, B,Ce D
Apenas CeD
Apenas A e B
Nenhumas das afirmaçōes
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das afirmações A, B, C e D sobre conjuntos em espaços métricos são verdadeiras. Vamos usar conceitos de fronteira, ponto de acumulação, ponto aderente e fechamento de um conjunto.
Passo 2
Afirmação A: em \mathbb{R} com a métrica usual e
A=[0,1],
a fronteira de A, denotada por F_{r}(A), é
F_{r}(A)=\{0,1\}.
Teoria: a fronteira de um conjunto A é \overline{A}\setminus A^\circ. Aqui \overline{A}=[0,1] e A^\circ=(0,1). Logo
F_{r}(A)= [0,1]\setminus(0,1)=\{0,1\},
portanto A é verdadeira.
Passo 3
Afirmação B: 0 é ponto de acumulação de
X=\bigl\{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Teoria: x é ponto de acumulação de X se toda vizinhança de x contém algum ponto de X diferente de x. Como \tfrac1n\to0, qualquer intervalo centrado em 0 contém \tfrac1n para n grande. Logo B é verdadeira.
Passo 4
Afirmação C: em qualquer espaço métrico (M,d), se X\subset M então X\subset \overline{X}.
Teoria: o fechamento \overline{X} é o menor conjunto fechado que contém X, logo sempre contém X. Então C é verdadeira.
Passo 5
Afirmação D: todo ponto de acumulação de X é também ponto aderente a X.
Teoria: ponto aderente (ou ponto de adesão) só exige que toda vizinhança tenha algum ponto de X (podendo ser ele próprio). Como ponto de acumulação impõe a mesma condição com a exigência de ser diferente, é uma condição mais forte. Logo todo ponto de acumulação está em \overline{X}, isto é, é aderente. Então D é verdadeira.