Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve a função
, ou seja, uma potência complexa com expoente (unidade imaginária). - Estamos fazendo
, portanto avaliamos o comportamento de quando a base está próxima de (número real negativo). - Não há outras condições no enunciado; assumiremos a definição usual (valor principal) da potência complexa via o logaritmo principal.
Passo 2
Entender o significado de
. Para potências com expoente complexo usamos o logaritmo complexo principal
. A definição principal que usamos é
onde
e
é o argumento principal (geralmente em
). Para
real negativo (como
com
pequeno), temos
. Portanto, para
suficientemente próximo de
(e tal que
) vale
Logo usaremos essa expressão para calcular
ao aproximarmos
.
Passo 3
Reescrever
usando a fórmula com
. Para
pequeno (com
) temos
Desenvolvendo o expoente:
Em particular, para
obtemos
Passo 4
Colocar o numerador do quociente em termos dessa escrita e fatorar o que for conveniente. O numerador é
. Subtraindo e somando o valor em
para formar uma diferença de tipo
, observamos que
Porém a segunda fração
não tem limite finito quando
— o que fiz aqui é só separar para ver que o termo relevante para um limite finito deve ser a diferença
. De fato o enunciado original é
mas note que
é uma constante complexa; a única maneira do limite existir finito é que a soma total faça cancelamentos — portanto é mais direto reconhecer que o enunciado é equivalente a calcular a derivada (cociente de diferença) da função
em
mais um ajuste. Para tratar isso de forma direta, observe que
Mas o segundo termo diverge, então a única interpretação consistente (e a usada normalmente) é que a expressão pedida é o limite do quociente diferença
isto é, a derivada de
no ponto
(com x variando em reais próximos de
). Portanto vou calcular
(Observação: essa é a interpretação natural porque se o enunciado realmente quisesse dividir a constante
por
teria limite infinito; então o propósito é o quociente de diferença.)
Passo 5
Usar a expressão obtida em
Passo 6
Assim o problema reduz-se a calcular a derivada em
da função
.
Passo 7
Calcular a derivada de
usando regra da cadeia. Primeiro escrevemos o composto:
A derivada de
é
. Aqui
. Então
Portanto
Passo 8
Avaliar
em
para obter o limite. Substituindo
temos
Voltando ao
do
Passo 9
Como observado antes,
(valor principal), podemos simplificar para