Calcule o limite se existir.
\lim _{x \rightarrow-} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2^-} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{expressão}=\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2},ã
o domínio da raiz exige x+2\ge 0, ou seja x\ge -2, então aproximar de 2 pela esquerda ( 2^-) é permitido. Se substituirmos x=2 diretamente obtemos \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada — então não podemos concluir o valor do limite por simples substituição.

Passo 2

Explicação didática do que significa a forma indeterminada \frac{0}{0} e o plano de ataque:
A forma \frac{0}{0} indica que o numerador e o denominador tendem a zero; o limite pode ser qualquer número finito, infinito ou não existir. Para resolver esse caso sem calculadora usamos manipulação algébrica que simplifique a expressão (a técnica clássica aqui é racionalizar o denominador usando o conjugado), para cancelar o fator que provoca o zero no denominador. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 3

Aplicamos a técnica de multiplicar por 1 escrita como o conjugado sobre si mesmo:
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+2}+2. Escrevendo isso:
\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} =\frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}.

Passo 4

Calcule o denominador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)= (\sqrt{x+2})^2-2^2 = x+2-4 = x-2.
Portanto a expressão fica
\frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2}.

Passo 5

Simplificação adicional observando que 2-x=-(x-2):
\frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2} =\frac{-(x-2)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2}.
Para x\neq 2 (estamos apenas aproximando 2, não igualando), podemos cancelar x-2, obtendo a forma simplificada válida para x próximos de 2, mas diferentes de 2:
-\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr).

Passo 6

Agora usamos continuidade da função raiz quadrada para tirar o limite da expressão simplificada. Como a função x\mapsto \sqrt{x+2} é contínua em x=2, temos
\lim_{x\to 2^-} -\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr) = -\bigl(\sqrt{2+2}+2\bigr) = -\bigl(\sqrt{4}+2\bigr).

Passo 7

Calcule o valor numérico final:
-\bigl(\sqrt{4}+2\bigr)=-(2+2)=-4.

Resposta

-4

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