Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
o domínio da raiz exige
, ou seja
, então aproximar de
pela esquerda (
) é permitido. Se substituirmos
diretamente obtemos
, que é uma forma indeterminada — então não podemos concluir o valor do limite por simples substituição.
Passo 2
Explicação didática do que significa a forma indeterminada
e o plano de ataque:
A forma indica que o numerador e o denominador tendem a zero; o limite pode ser qualquer número finito, infinito ou não existir. Para resolver esse caso sem calculadora usamos manipulação algébrica que simplifique a expressão (a técnica clássica aqui é racionalizar o denominador usando o conjugado), para cancelar o fator que provoca o zero no denominador. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.
A forma
Passo 3
Aplicamos a técnica de multiplicar por
escrita como o conjugado sobre si mesmo:
Multiplicamos numerador e denominador por . Escrevendo isso:
Multiplicamos numerador e denominador por
Passo 4
Calcule o denominador usando a identidade
:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Simplificação adicional observando que
:
Para
(estamos apenas aproximando
, não igualando), podemos cancelar
, obtendo a forma simplificada válida para
próximos de
, mas diferentes de
:
Passo 6
Agora usamos continuidade da função raiz quadrada para tirar o limite da expressão simplificada. Como a função
é contínua em
, temos
Passo 7
Calcule o valor numérico final: