Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - A função
está bem definida em torno de (já que ).
A tarefa é encontrar o valor desse limite, se ele existir.
Passo 2
Ideia inicial (teste de substituição direta): quando podemos simplesmente substituir
por
no quociente? Se o numerador e o denominador forem funções contínuas no ponto e o denominador não for
no ponto, o limite é obtido pela substituição direta. Aqui a raiz quadrada e as funções polinomiais são contínuas onde estão definidas, então é legítimo tentar a substituição direta — desde que o denominador não se anule em
.
Passo 3
Aplicando substituição direta (verificação):
Como o denominador não é zero, a substituição direta já nos dá o resultado do limite. Ainda assim, vou mostrar uma forma algébrica alternativa que ajuda a entender o comportamento da expressão.
Passo 4
Método alternativo (fatoração): observe que podemos escrever o numerador como uma diferença de quadrados, usando
e
:
Substituindo na fração:
Passo 5
Cancelamento e continuação: para
diferente de
(aqui estamos aproximando
de
, então
), podemos cancelar o fator
, obtendo a expressão simplificada
Agora basta calcular o limite da função simplificada quando
— nesta função a substituição direta é segura porque é contínua em
.
Passo 6
Avaliação final (pela substituição na expressão simplificada):
Portanto o limite existe e vale
.
Resposta
5