Calcule o limite se existir.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{9-x}{3 \cdots \sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 4.
  • A expressão é a razão entre o numerador 9-x e o denominador 3-\sqrt{x}.
  • A função \sqrt{x} está bem definida em torno de x=4 (já que 4\ge 0).
    A tarefa é encontrar o valor desse limite, se ele existir.

Passo 2

Ideia inicial (teste de substituição direta): quando podemos simplesmente substituir x por 4 no quociente? Se o numerador e o denominador forem funções contínuas no ponto e o denominador não for 0 no ponto, o limite é obtido pela substituição direta. Aqui a raiz quadrada e as funções polinomiais são contínuas onde estão definidas, então é legítimo tentar a substituição direta — desde que o denominador não se anule em x=4.

Passo 3

Aplicando substituição direta (verificação):
\text{numerador: }9-4=5,
\text{denominador: }3-\sqrt{4}=3-2=1.
Como o denominador não é zero, a substituição direta já nos dá o resultado do limite. Ainda assim, vou mostrar uma forma algébrica alternativa que ajuda a entender o comportamento da expressão.

Passo 4

Método alternativo (fatoração): observe que podemos escrever o numerador como uma diferença de quadrados, usando a=3 e b=\sqrt{x}:
9-x = 3^2 - (\sqrt{x})^2 = (3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x}).
Substituindo na fração:
\frac{9-x}{3-\sqrt{x}}=\frac{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}{3-\sqrt{x}}.

Passo 5

Cancelamento e continuação: para x diferente de 9 (aqui estamos aproximando x de 4, então 3-\sqrt{x}\neq0), podemos cancelar o fator 3-\sqrt{x}, obtendo a expressão simplificada
3+\sqrt{x}.
Agora basta calcular o limite da função simplificada quando x\to4 — nesta função a substituição direta é segura porque é contínua em x=4.

Passo 6

Avaliação final (pela substituição na expressão simplificada):
3+\sqrt{4}=3+2=5.
Portanto o limite existe e vale 5.

Resposta

5

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