Questão 2 (Vigas) Uma viga tem suas extremidades rotuladas em
e
. Se uma carga concentrada
age verticalmente para baixo em
, mostre que a deflexão é:
A deflexão para
é obtida por simetria ou substituindo
por
.
Passo 1
O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada nas extremidades em
e
e uma carga concentrada
atuando verticalmente para baixo em
. A tarefa é mostrar que, para a metade esquerda da viga (
), a deflexão
é
Informações relevantes fornecidas:
O enunciado já diz que a deflexão para
pode ser obtida por simetria (substituir
por
). Não há outras informações ocultas.]
Passo 2
Primeiro precisamos achar as reações nos apoios. Como a carga está no meio e a viga é simétrica, as reações verticais nos apoios são iguais. Usamos o equilíbrio vertical:
Por simetria
, logo
Aqui
é a reação no apoio em
(lado esquerdo).
Passo 3
Agora obtemos o momento fletor
na região
(ou seja, à esquerda da carga). Para uma seção a distância
do apoio esquerdo, o único carregamento à esquerda é a reação
, então o momento fletor (valor algébrico) é
Vou explicar o que isso significa: o momento fletor em uma seção é a soma algébrica das forças verticais à esquerda multiplicadas pelas suas alavancas; aqui só aparece
com alavanca
.
Passo 4
Escolhemos uma convenção de sinais e escrevemos a equação diferencial da flexão da viga (teoria de Euler–Bernoulli). Vou tomar
positiva para baixo (isso facilita porque a carga aponta para baixo e a deflexão será para baixo). Com essa convenção a equação relaciona curvatura com momento por:
Explicando:
é o módulo de elasticidade (rigidez do material),
é o momento de inércia da seção transversal (geometria da viga), e
é a curvatura da linha de centro. O sinal negativo aparece porque, com
positivo para baixo, um momento positivo que faria a peça concavar para cima gera curvatura negativa — essa é a convenção usada aqui para obter a solução com o mesmo sinal do enunciado.
Substituindo
obtemos, para
,
Passo 5
Integramos a equação diferencial uma vez para obter a inclinação
. Dividindo por
e integrando:
integra uma vez:
onde
é uma constante de integração que vamos determinar usando condições de contorno / simetria.
Passo 6
Integramos novamente para obter
:
com
outra constante de integração. Agora aplicamos as condições da viga para achar
e
.
Passo 7
As condições de contorno e simetria que usamos:
- Apoio em
: a deflexão é zero, . Aplicando em dá
- Simetria no meio da viga (
): a inclinação é zero, (a viga atinge máximo de deflexão no centro, então a tangente é horizontal). Usamos a expressão de :
Impondo
:
Logo
Passo 8
Substituímos
e
na expressão de
:
Colocamos em fator comum
para obter a forma pedida. Para isso multiplicamos e rearranjamos:
Calculando os coeficientes:
então
Isso coincide exatamente com a expressão que o enunciado pede para
.
Passo 9
Comentário final sobre a outra metade: por simetria da carga e dos apoios, a deflexão para
é obtida substituindo
por
na expressão acima, ou diretamente repetindo o mesmo procedimento na região direita (o momento fletor naquela região é
).