Questão 2 (Vigas) Uma viga tem suas extremidades rotuladas em x=0 e x=l. Se uma carga concentrada P_{0} age verticalmente para baixo em x=l / 2, mostre que a deflexão é:
y(x)=\frac{P_{0} x}{48 E I}\left(3 l^{2}-4 x^{2}\right), \quad 0<x<l / 2
A deflexão para l / 2<x<l é obtida por simetria ou substituindo x por l-x.

Passo 1

O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada nas extremidades em x=0 e x=l e uma carga concentrada \,P_{0}\, atuando verticalmente para baixo em x=l/2. A tarefa é mostrar que, para a metade esquerda da viga ( 0<x<l/2), a deflexão y(x) é
y(x)=\frac{P_{0} x}{48 E I}\left(3 l^{2}-4 x^{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{array}{l} \text{apoios em }x=0\text{ e }x=l,\\[4pt] \text{carga concentrada }P_{0}\text{, apontando para baixo, em }x=l/2. \end{array}
O enunciado já diz que a deflexão para l/2<x<l pode ser obtida por simetria (substituir x por l-x). Não há outras informações ocultas.]

Passo 2

Primeiro precisamos achar as reações nos apoios. Como a carga está no meio e a viga é simétrica, as reações verticais nos apoios são iguais. Usamos o equilíbrio vertical:
R_A+R_B=P_{0}.
Por simetria R_A=R_B, logo
R_A=R_B=\frac{P_{0}}{2}.
Aqui R_A é a reação no apoio em x=0 (lado esquerdo).

Passo 3

Agora obtemos o momento fletor M(x) na região 0<x<l/2 (ou seja, à esquerda da carga). Para uma seção a distância x do apoio esquerdo, o único carregamento à esquerda é a reação R_A, então o momento fletor (valor algébrico) é
M(x)=R_A\;x=\frac{P_{0}}{2}\,x.
Vou explicar o que isso significa: o momento fletor em uma seção é a soma algébrica das forças verticais à esquerda multiplicadas pelas suas alavancas; aqui só aparece R_A com alavanca x.

Passo 4

Escolhemos uma convenção de sinais e escrevemos a equação diferencial da flexão da viga (teoria de Euler–Bernoulli). Vou tomar y(x) positiva para baixo (isso facilita porque a carga aponta para baixo e a deflexão será para baixo). Com essa convenção a equação relaciona curvatura com momento por:
E I \,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -M(x).
Explicando: E é o módulo de elasticidade (rigidez do material), I é o momento de inércia da seção transversal (geometria da viga), e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} é a curvatura da linha de centro. O sinal negativo aparece porque, com y positivo para baixo, um momento positivo que faria a peça concavar para cima gera curvatura negativa — essa é a convenção usada aqui para obter a solução com o mesmo sinal do enunciado.
Substituindo M(x)=\dfrac{P_{0}}{2}x obtemos, para 0<x<l/2,
E I \,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{P_{0}}{2}\,x.

Passo 5

Integramos a equação diferencial uma vez para obter a inclinação y'(x). Dividindo por E I e integrando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{P_{0}}{2 E I}\,x
integra uma vez:
\frac{d y}{dx} = -\frac{P_{0}}{2 E I}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{1} = -\frac{P_{0}}{4 E I}\,x^{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração que vamos determinar usando condições de contorno / simetria.

Passo 6

Integramos novamente para obter y(x):
y(x)= -\frac{P_{0}}{4 E I}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C_{1}x + C_{2} = -\frac{P_{0}}{12 E I}\,x^{3} + C_{1}x + C_{2},
com C_{2} outra constante de integração. Agora aplicamos as condições da viga para achar C_{1} e C_{2}.

Passo 7

As condições de contorno e simetria que usamos:
  • Apoio em x=0: a deflexão é zero, y(0)=0. Aplicando em y(x)
y(0)= -\frac{P_{0}}{12 E I}\cdot 0 + C_{1}\cdot 0 + C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
  • Simetria no meio da viga ( x=l/2): a inclinação é zero, y'\!\left(\frac{l}{2}\right)=0 (a viga atinge máximo de deflexão no centro, então a tangente é horizontal). Usamos a expressão de y'(x):
y'(x)= -\frac{P_{0}}{4 E I}\,x^{2}+C_{1}.
Impondo y'\!\left(\frac{l}{2}\right)=0:
0 = -\frac{P_{0}}{4 E I}\left(\frac{l}{2}\right)^{2} + C_{1} = -\frac{P_{0}}{4 E I}\cdot\frac{l^{2}}{4} + C_{1} = -\frac{P_{0} l^{2}}{16 E I} + C_{1}.
Logo
C_{1} = \frac{P_{0} l^{2}}{16 E I}.

Passo 8

Substituímos C_{1} e C_{2} na expressão de y(x):
y(x)= -\frac{P_{0}}{12 E I}\,x^{3} + \frac{P_{0} l^{2}}{16 E I}\,x + 0.
Colocamos em fator comum \dfrac{P_{0}x}{48 E I} para obter a forma pedida. Para isso multiplicamos e rearranjamos:
y(x) = \frac{P_{0}x}{48 E I}\big(48\cdot\big(-\tfrac{1}{12}x^{2}\big) + 48\cdot\big(\tfrac{l^{2}}{16}\big)\big).
Calculando os coeficientes:
48\cdot\left(-\frac{1}{12}\right)= -4,\qquad 48\cdot\left(\frac{1}{16}\right)=3,
então
y(x)=\frac{P_{0}x}{48 E I}\left(-4x^{2}+3l^{2}\right) =\frac{P_{0}x}{48 E I}\left(3l^{2}-4x^{2}\right).
Isso coincide exatamente com a expressão que o enunciado pede para 0<x<l/2.

Passo 9

Comentário final sobre a outra metade: por simetria da carga e dos apoios, a deflexão para l/2<x<l é obtida substituindo x por l-x na expressão acima, ou diretamente repetindo o mesmo procedimento na região direita (o momento fletor naquela região é M(x)=\dfrac{P_{0}}{2}(l-x)).

Resposta

y(x)=\frac{P_{0} x}{48 E I}\left(3 l^{2}-4 x^{2}\right), \quad 0<x<l / 2

Exercícios relacionados