Calcule o limite, se existir.
lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
O conteúdo principal é remover a indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} usando racionalização (conjugado) ou reconhecer que isso corresponde à derivada de f(x)=\sqrt{x} em x=9.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{9+h}+3:
\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\;\times\;\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3} =\frac{(\sqrt{9+h})^2-3^2}{h\,(\sqrt{9+h}+3)} =\frac{9+h-9}{h\,(\sqrt{9+h}+3)} =\frac{h}{h\,(\sqrt{9+h}+3)} =\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.
Agora, basta tomar h\to0:
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3} =\frac{1}{3+3} =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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