Find \nabla f at the given point.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-2 z^{2}+z \ln x, \quad(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2z^{2}+z\ln x
no ponto (1,1,1). Para isso vamos usar a definição
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr),
calculando as derivadas parciais e depois avaliando em (1,1,1).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação a x. Como
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2z^{2}+z\ln x,
temos
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(-2z^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(z\ln x).
Os três primeiros termos são
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,
\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 e
\frac{\partial}{\partial x}(-2z^{2})=0.
No quarto termo, z é visto como constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(z\ln x) = z\cdot\frac{1}{x} = \frac{z}{x}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + \frac{z}{x}.

Passo 3

Agora a parcial em relação a y. Só o termo y^{2} depende de y, então
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = 2y.

Passo 4

Por fim, a parcial em relação a z. Os termos dependentes de z são -2z^{2} e z\ln x. Assim,
\frac{\partial}{\partial z}(-2z^{2}) = -4z, \quad \frac{\partial}{\partial z}(z\ln x) = \ln x
(sendo \ln x constante em z). Então
\frac{\partial f}{\partial z} = -4z + \ln x.

Passo 5

Avaliando cada parcial em (x,y,z)=(1,1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,1) =2\cdot1 + \frac{1}{1}=3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1,1) =2\cdot1=2,
\frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1) =-4\cdot1 + \ln1 = -4 + 0 = -4.

Resposta

\nabla f(1,1,1) = (3,\,2,\,-4).

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