Calcule o limite, se existir.
lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}
do conteúdo de limites de funções que resultam em formas indefinidas.

Passo 2

Observamos que a substituição direta de x=2 no numerador e denominador gera a forma
\frac{2^{2}+2-6}{2-2} = \frac{0}{0},
que é uma forma indefinida, então precisamos reescrever a expressão para remover essa indeterminação.

Passo 3

Aplicamos fatoração no numerador x^{2}+x-6, identificando raízes em 2 e -3. Assim,
x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).

Passo 4

Substituímos a fatoração na expressão original e simplificamos o fator comum (x-2):
\frac{x^{2}+x-6}{x-2} = \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x+3,
válido para x\neq2.

Passo 5

Como x+3 é contínua em x=2, o limite é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to2}(x+3) = 2+3 = 5.

Resposta

5

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