Calcule o limite, se existir.
\lim _{t \rightarrow-3}\left(\frac{t^{{2}}-9}{2 t^{{2}}+7 t+3}\right)^{{-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{t\to -3}\Bigl(\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3}\Bigr)^{-1}.
O conteúdo envolve limites de funções racionais, fatoração de polinômios e simplificação de expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Antes de aplicar a potência -1, examinamos a fração interna
\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3}.
Ao substituir t=-3, tanto o numerador quanto o denominador se anulam, gerando uma forma indeterminada 0/0. Para resolver isso, vamos fatorar polinômios e simplificar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
t^2-9=(t-3)(t+3), \qquad 2t^2+7t+3=(2t+1)(t+3).
Como t\neq -3 na vizinhança do ponto de interesse, podemos cancelar o fator comum t+3, obtendo
\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3} =\frac{(t-3)(t+3)}{(2t+1)(t+3)} =\frac{t-3}{2t+1}.

Passo 4

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando t\to -3:
\lim_{t\to -3}\frac{t-3}{2t+1} =\frac{-3-3}{2(-3)+1} =\frac{-6}{-6+1} =\frac{-6}{-5} =\frac{6}{5}.

Passo 5

Voltando à expressão original, que era a potência -1 da fração interna, temos
\lim_{t\to -3}\Bigl(\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3}\Bigr)^{-1} =\biggl(\lim_{t\to -3}\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3}\biggr)^{-1} =\Bigl(\tfrac{6}{5}\Bigr)^{-1} =\tfrac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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