Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x-5)^{{2}}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{(x-5)^{2}-2}{x}.
Vamos usar álgebra elementar para expandir o numerador e, depois, analisar o comportamento da fração quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Expandimos o quadrado no numerador:
(x-5)^{2} = x^{2} -10x +25.
Logo,
(x-5)^{2} -2 = x^{2} -10x +25 -2 = x^{2} -10x +23.

Passo 3

Substituímos de volta na fração e separamos os termos:
\frac{(x-5)^{2}-2}{x} = \frac{x^{2} -10x +23}{x} = \frac{x^{2}}{x} \;-\;\frac{10x}{x}\;+\;\frac{23}{x} = x \;-\;10 \;+\;\frac{23}{x}.

Passo 4

Agora analisamos o limite termo a termo quando x\to0:
\lim_{x\to0}x = 0.
\lim_{x\to0}(-10) = -10.
\lim_{x\to0}\frac{23}{x} não é finito: conforme x\to0^+, \frac{23}{x}\to+\infty e conforme x\to0^-, \frac{23}{x}\to-\infty.

Passo 5

Como o termo \frac{23}{x} diverge, a soma também diverge e o limite não existe no sentido finito.

Resposta

O limite não existe (diverge para +\infty quando x\to0^+ e para -\infty quando x\to0^-).

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