Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se p for um polinômio, então lim x b p(x)=p(b)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se para um polinômio p vale limxto bp(x)=p(b). O conteúdo aqui é limite de função e continuidade; vamos usar que polinômios são combinações de soma e produto de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, lembrando a forma geral de um polinômio:
p(x)=anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0

Passo 3

Sabemos que a função constante xmapsto ak e a identidade xmapsto x são contínuas, e que somas e produtos de funções contínuas também são contínuas. Portanto cada termo akx^k é contínuo, e assim a soma p(x) é contínua.

Passo 4

Como p é contínua em todo ponto, em particular em x=b, temos por definição de continuidade que
limxto bp(x)=p(b)

Resposta

Verdadeira. Polinômios são funções contínuas, logo o limite de p(x) quando xto b é exatamente p(b).

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