Calcule o limite, se existir.
lim x 8 x^2-64raiz[3]x-2

Passo 1

Temos que calcular o limite limx 8 x^2-64raiz[3]x-2. O conteúdo é limites de funções com forma indeterminada 0/0 e vamos usar fatoração de diferença de cubos para racionalizar o denominador.

Passo 2

Se fizermos substituição direta em x^2 - 64raiz[3]x-2, com x=8, obtemos 64-642-2 = 00, que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Usamos a identidade de diferença de cubos a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) com a = raiz[3]x e b=2. Desta forma, x - 8 = (raiz[3]x)^3 - 2^3 = (raiz[3]x-2)(raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x +4). Assim, podemos escrever:
x^2 - 64 = (x-8)(x+8) = (raiz[3]x-2)(raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x +4)(x+8)

Passo 4

Substituindo na expressão original e cancelando o fator raiz[3]x-2, temos:
x^2 - 64raiz[3]x-2 = (raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x +4)(x+8)

Passo 5

Agora o limite pode ser avaliado sem indeterminação. Substituindo x=8:
(raiz[3]8^2 + 2raiz[3]8 +4)(8+8) = (2^2 + 2cdot 2 +4)cdot 16 = (4+4+4)cdot 16 = 12cdot 16 = 192

Resposta

192

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