Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral0^2 pi d theta(a+b cos ^2 theta)^2, com a>b>0.
Resposta: (2 a+b) pi a[a(a+b)]^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
I=integral0^2pidthetal(a+bcos^2thetar)^2, a>b>0
Aqui vamos usar identidades trigonométricas e um resultado padrão de integrais do tipo integral0^2pidtheta/(A+Bcostheta)^2.

Passo 2

Começamos usando a identidade
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}.
cos^2theta=1+cos2theta2 a+b\cos^2\theta=a+\frac b2(1+\cos2\theta)=A+B\cos2\theta,$$
onde definimos
a+bcos^2theta=a+ b2(1+cos2theta)=A+Bcos2theta,

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de A e B temos
$$I=\int_0{2\pi}\frac{d\theta}{(A+B\cos2\theta)2}.
I=integral0^2pidtheta(A+Bcos2theta)^2 áíI=\int_0{4\pi}\frac{d\phi/2}{(A+B\cos\phi)2}= rac12\cdot2\int_0{2\pi}\frac{d\phi}{(A+B\cos\phi)2}=\ \int_0{2\pi}\frac{d\phi}{(A+B\cos\phi)2}.
$$

Passo 4

Agora usamos o resultado padrão (válido para A>|B|):
$$\int_0{2\pi}\frac{d\phi}{(A+B\cos\phi)2}= rac{2\pi,A}{(A2-B2)^{3/2}}.
integral0^2pidphi(A+Bcosphi)^2= rac2pi,A(A^2-B^2)^3/2 A2-B2=(a+\tfrac b2)^2-(\tfrac b2)2=a2+ab=a(a+b).
$$

Passo 5

Finalmente, o numerador fica
$$2\pi,A=2\pi\Bigl(a+\tfrac b2\Bigr)=\pi(2a+b).
2pi,A=2pil(a+tfrac b2r)=pi(2a+b) éI=\frac{\pi,(2a+b)}{\bigl[a(a+b)\bigr]^{3/2}}.
$$

Resposta

pi,(2a+b)[a(a+b)]^3/2

Exercícios relacionados