Calcule o limite, se existir:
lim x 0^+ ln x1x

Passo 1

Temos o limite limxto0^+ln x1/x. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções que geram indeterminações do tipo infty/infty, e vamos usar a técnica da regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

À medida que xto0^+, temos ln xto-infty e 1/xto+infty. Isso configura uma forma indeterminada infty/infty. A regra de L’Hôpital diz que, nesses casos, se f e g forem deriváveis e g'(x)neq0, então
limxto af(x)g(x)= limxto af'(x)g'(x),
desde que o limite à direita exista.

Passo 3

Derivando numerador e denominador, temos
$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^2}.
ddx(ln x)=1x,ddxl(1xr)=-1x^2 ô
\lim_{x\to0+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x2}}.
$$

Passo 4

Agora simplificamos a fração:
1x-1x^2 = -x
À medida que xto0^+, fica claro que -xto0. Portanto, o limite buscado vale 0.

Resposta

0

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