Calcule o limite, se existir:
Passo 1
Temos o limite
. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções que geram indeterminações do tipo
, e vamos usar a técnica da regra de L’Hôpital para resolver.
Passo 2
À medida que
, temos
e
. Isso configura uma forma indeterminada
. A regra de L’Hôpital diz que, nesses casos, se
e
forem deriváveis e
, então
desde que o limite à direita exista.
Passo 3
Derivando numerador e denominador, temos
$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^2}.
\lim_{x\to0+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x2}}.
$$
Passo 4
Agora simplificamos a fração:
À medida que
, fica claro que
. Portanto, o limite buscado vale
.
Resposta
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