Prove que x^10 para x suficientemente grande, calculando lim x +infty x^10e^x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que x^10 quando x é suficientemente grande, calculando o limite limxto+inftyx^10e^x. O conteúdo principal que vamos usar é a regra de L’Hôpital, pois ao avaliar o limite direto obtemos uma forma indeterminada inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, notamos que ao fazermos xto+infty temos numerador x^10to+infty e denominador e^xto+infty. Assim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se limxto af(x)=limxto ag(x)=+infty e as derivadas existem, então
limxto+inftyf(x)g(x)=limxto+inftyf'(x)g'(x),

Passo 3

Tomando f(x)=x^10 e g(x)=e^x, vamos aplicar L’Hôpital dez vezes. A cada derivada de f(x)=x^10 diminui o grau do polinômio em 1, e a derivada de e^x continua e^x. Assim, após 10 derivações:
f^(10)(x)=10!e g^(10)(x)=e^x

Passo 4

Logo o limite original passa a ser
limxto+inftyx^10e^x=limxto+infty10!e^x

Passo 5

Sabemos que e^xto+infty quando xto+infty, então
limxto+infty10!e^x=0

Passo 6

Como a razão x^10e^x tende a zero, existe X0>0 tal que para todo x>X0 vale x^10e^x<1. Portanto, para x suficientemente grande temos x^10.

Resposta

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