Prove que
para
suficientemente grande, calculando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
quando
é suficientemente grande, calculando o limite
. O conteúdo principal que vamos usar é a regra de L’Hôpital, pois ao avaliar o limite direto obtemos uma forma indeterminada
.
Passo 2
Primeiro, notamos que ao fazermos
temos numerador
e denominador
. Assim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
e as derivadas existem, então
Passo 3
Tomando
e
, vamos aplicar L’Hôpital dez vezes. A cada derivada de
diminui o grau do polinômio em 1, e a derivada de
continua
. Assim, após 10 derivações:
Passo 4
Logo o limite original passa a ser
Passo 5
Sabemos que
quando
, então
Passo 6
Como a razão
tende a zero, existe
tal que para todo
vale
. Portanto, para
suficientemente grande temos
.
Resposta
0