Os registros revelam que,
semanas após o primeiro surto de uma determinada gripe, aproximadamente
milhares de indivíduos contraíram a doença.
Qual a taxa de crescimento do número de pessoas infectadas na primeira semana?
Qual a taxa de crescimento do número de pessoas infectadas na primeira semana?
Passo 1
O enunciado dá uma função logística do tipo Q(t)=número de indivíduos (em milhares) infectados t semanas após o surto e pede a taxa de crescimento Q′(1). Vamos usar derivação de função composta e regra do quociente.
Passo 2
Escrevendo Q(t)=
e aplicando regra do quociente: se Q(t)=N(t)/D(t), então Q′(t)=(N′(t)D(t)−N(t)D′(t))/D(t)². Aqui N(t)=20⇒N′(t)=0 e D(t)=1+19e{-1,2t}⇒D′(t)=19·(−1,2)e{-1,2t} = −22,8e^{-1,2t}. Logo
Passo 3
Agora avalia em t=1: calculamos e^{-1,2}≈0,3012, então o numerador fica 20·19·1,2·0,3012≈137,36 e o denominador (1+19·0,3012)²≈6,7226²≈45,19. Assim Q′(1)≈137,36/45,19≈3,04 (em milhares por semana).
Passo 4
Convertendo para indivíduos por semana: 3,04 milhares ≈3040 indivíduos por semana.
Resposta
A taxa de crescimento na primeira semana é aproximadamente
mil pessoas por semana, ou cerca de 3040 indivíduos por semana.