Os registros revelam que, t semanas após o primeiro surto de uma determinada gripe, aproximadamente Q(t)=201+19 e^-1,2 t milhares de indivíduos contraíram a doença.
Qual a taxa de crescimento do número de pessoas infectadas na primeira semana?

Passo 1

O enunciado dá uma função logística do tipo Q(t)=número de indivíduos (em milhares) infectados t semanas após o surto e pede a taxa de crescimento Q′(1). Vamos usar derivação de função composta e regra do quociente.

Passo 2

Escrevendo Q(t)= 201+19e^-1,2te aplicando regra do quociente: se Q(t)=N(t)/D(t), então Q′(t)=(N′(t)D(t)−N(t)D′(t))/D(t)². Aqui N(t)=20⇒N′(t)=0 e D(t)=1+19e{-1,2t}⇒D′(t)=19·(−1,2)e{-1,2t} = −22,8e^{-1,2t}. Logo
Q(t)=0·D(t)−20·(−22,8e^-1,2t)(1+19e^-1,2t)^2=456e^-1,2t(1+19e^-1,2t)^2 = 20·19·1,2e^-1,2t(1+19e^-1,2t)^2

Passo 3

Agora avalia em t=1: calculamos e^{-1,2}≈0,3012, então o numerador fica 20·19·1,2·0,3012≈137,36 e o denominador (1+19·0,3012)²≈6,7226²≈45,19. Assim Q′(1)≈137,36/45,19≈3,04 (em milhares por semana).

Passo 4

Convertendo para indivíduos por semana: 3,04 milhares ≈3040 indivíduos por semana.

Resposta

A taxa de crescimento na primeira semana é aproximadamente 3,04 mil pessoas por semana, ou cerca de 3040 indivíduos por semana.

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