Questão 4
Ainda nāo
respondida
Vale 4,00 ponto(s).
Marcar questão
Considere as seguintes afirmações.
A) A intersecção infinita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
B) A união infinita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
C) Uma sequência num espaço métrico näo pode ter duas subsequências que convergem para limites diferentes.
D) A sequência
diverge quando
Podemos afirmar
Escolha uma opção:
Todas säo falsas
Apenas CeD são verdadeiras
Todas säo verdadeiras
Apenas A e B são verdadeiras
respondida
Vale 4,00 ponto(s).
Marcar questão
A) A intersecção infinita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
B) A união infinita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
C) Uma sequência num espaço métrico näo pode ter duas subsequências que convergem para limites diferentes.
D) A sequência
Todas säo falsas
Apenas CeD são verdadeiras
Todas säo verdadeiras
Apenas A e B são verdadeiras
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos quatro afirmações sobre conjuntos e sequências em espaço métrico e topologia:
A) interseção infinita de abertos é aberta;
B) união infinita de fechados é fechada;
C) uma sequência não pode ter duas subsequências com limites distintos;
D) a sequência diverge quando
.
O conteúdo envolve definições de abertos e fechados, unicidade de limite em espaços métricos e cálculo de limites de sequência. Vamos avaliar cada uma.
A) interseção infinita de abertos é aberta;
B) união infinita de fechados é fechada;
C) uma sequência não pode ter duas subsequências com limites distintos;
D) a sequência
O conteúdo envolve definições de abertos e fechados, unicidade de limite em espaços métricos e cálculo de limites de sequência. Vamos avaliar cada uma.
Passo 2
Analisando A: em topologia, só interseções finitas de conjuntos abertos são garantidamente abertas. Para perceber que a interseção infinita pode falhar, considere os abertos
para
.
Cada é aberto, mas
Cada
que não é aberto em
. Logo, A é falsa.
Passo 3
Analisando B: só uniões finitas de conjuntos fechados são fechadas. Para ver que a união infinita de fechados pode não ser fechada, considere os fechados
em
.
Cada é fechado, mas
Cada
não contém o ponto-limite
, logo não é fechado. Assim, B é falsa.
Passo 4
Analisando C: em espaços métricos (que são Hausdorff), um \emph{limite} de sequência é único se ela converge. Mas nada impede que uma sequência \emph{não convergente} possua duas subsequências convergindo a limites distintos. Exemplo clássico em
A subsequência dos termos pares converge a
. Portanto, C é falsa.
Passo 5
Analisando D: calcule o limite de
Racionalizando,
Como
quando
, segue
Logo a sequência converge (a
), não diverge. D é falsa.
Resposta
Todas são falsas.