Questão 4

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Considere as seguintes afirmações.
A) A intersecção infinita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
B) A união infinita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
C) Uma sequência num espaço métrico näo pode ter duas subsequências que convergem para limites diferentes.
D) A sequência
\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)
diverge quando
n \rightarrow+\infty .
Podemos afirmar
Escolha uma opção:
Todas säo falsas
Apenas CeD são verdadeiras
Todas säo verdadeiras
Apenas A e B são verdadeiras

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos quatro afirmações sobre conjuntos e sequências em espaço métrico e topologia:
A) interseção infinita de abertos é aberta;
B) união infinita de fechados é fechada;
C) uma sequência não pode ter duas subsequências com limites distintos;
D) a sequência \sqrt{n^{2}+n}-n diverge quando n\to+\infty.
O conteúdo envolve definições de abertos e fechados, unicidade de limite em espaços métricos e cálculo de limites de sequência. Vamos avaliar cada uma.

Passo 2

Analisando A: em topologia, só interseções finitas de conjuntos abertos são garantidamente abertas. Para perceber que a interseção infinita pode falhar, considere os abertos \;U_k = \bigl(-\tfrac1k,\tfrac1k\bigr) para k=1,2,\dots.
Cada U_k é aberto, mas
\bigcap_{k=1}^{\infty} U_k = \{0\},
que não é aberto em \mathbb R. Logo, A é falsa.

Passo 3

Analisando B: só uniões finitas de conjuntos fechados são fechadas. Para ver que a união infinita de fechados pode não ser fechada, considere os fechados \;F_k = \{1/k\} em \mathbb R.
Cada F_k é fechado, mas
\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k = \{1,1/2,1/3,\dots\}
não contém o ponto-limite 0, logo não é fechado. Assim, B é falsa.

Passo 4

Analisando C: em espaços métricos (que são Hausdorff), um \emph{limite} de sequência é único se ela converge. Mas nada impede que uma sequência \emph{não convergente} possua duas subsequências convergindo a limites distintos. Exemplo clássico em \mathbb R\): \[x_n = \begin{cases} 0, & n\text{ par},\\\\ 1, & n\text{ ímpar}. \end{cases}
A subsequência dos termos pares converge a 0\] e a dos ímpares a \(1. Portanto, C é falsa.

Passo 5

Analisando D: calcule o limite de
a_n = \sqrt{n^{2}+n}-n.
Racionalizando,
a_n = \frac{(\sqrt{n^{2}+n}-n)(\sqrt{n^{2}+n}+n)}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n^{2}+n - n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n}{n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1}.
Como \sqrt{1+1/n}\to1 quando n\to\infty, segue
a_n \;\longrightarrow\; \frac{1}{1+1} \;=\;\tfrac12.
Logo a sequência converge (a 1/2), não diverge. D é falsa.

Resposta

Todas são falsas.

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