Determine o valor da integral definida
J=\int_{9}^{10} 6 \sqrt{(x-7)(x-9)} d x
compulsoriamente seguindo os seguintes passos
  • completando os quadrados do argumento da raiz
  • e usando uma substituição trigonométrica pertinente, chegando a integrais trigonométricas
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
    J= \square
    Avalie com cuidado, se o valor da integral estier incorreto não haverá crédito parcial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
J = \int_{9}^{10} 6 \sqrt{(x-7)(x-9)}\,dx
usando como conteúdo a técnica de completar quadrados dentro da raiz e depois uma substituição trigonométrica adequada, levando a integrais de funções secante e tangente.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no radicando:
(x-7)(x-9) = x^2 -16x +63 = (x-8)^2 -1.

Passo 3

Fazemos a substituição
x-8 = \operatorname{sec}(\theta),\quad dx = \operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\,d\theta,
de modo que
\sqrt{(x-8)^2 -1} = \sqrt{\operatorname{sec}^2(\theta)-1} = \tan(\theta).
Quando x=9, temos \operatorname{sec}(\theta)=1\Rightarrow\theta=0;
quando x=10, temos \operatorname{sec}(\theta)=2\Rightarrow \theta=\pi/3.

Passo 4

Substituindo na integral,
J = \int_{0}^{\pi/3} 6\;\tan(\theta)\;\bigl[\operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\bigr]\,d\theta =6\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}(\theta)\,\tan^2(\theta)\,d\theta.
Como \tan^2(\theta)=\operatorname{sec}^2(\theta)-1,
J =6\int_{0}^{\pi/3} \bigl(\operatorname{sec}^3(\theta)-\operatorname{sec}(\theta)\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Usamos as primitivas conhecidas:
\int \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}(\theta)+\tan(\theta)\bigr|+C,
\int \operatorname{sec}^3(\theta)\,d\theta = \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)+\ln\bigl|\operatorname{sec}(\theta)+\tan(\theta)\bigr|\bigr)+C.
Logo, para I_1=\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec}^3(\theta)\,d\theta e I_2=\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec}(\theta)\,d\theta temos
I_1 = \frac12\bigl[\,\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\bigr]_{0}^{\pi/3} = \frac12\bigl(2\sqrt3 + \ln(2+\sqrt3)\bigr),
I_2 = \bigl[\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\bigr]_{0}^{\pi/3} = \ln(2+\sqrt3).

Passo 6

Reunindo,
J =6\bigl(I_1 - I_2\bigr) =6\Bigl(\frac{2\sqrt3 + \ln(2+\sqrt3)}{2} - \ln(2+\sqrt3)\Bigr) =6\sqrt3 \;-\;3\,\ln(2+\sqrt3).
Em valor decimal:
6\sqrt3 \approx 10.39230485,\quad \ln(2+\sqrt3)\approx1.31695790,
J \approx 10.39230485 -3\times1.31695790 = 6.44143115.

Resposta

J =6.44143115

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