Calcule o limite, se existir.
(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1}\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser considerada é a função racional \dfrac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
  • Queremos o limite quando x se aproxima de -1 (pela esquerda e pela direita), ou seja, o comportamento da função em pontos próximos de x=-1.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se dá um valor imediato): substituir x=-1 em numerador e denominador.
2(-1)^{2}+3(-1)+1=2-3+1=0, \qquad (-1)^{2}-2(-1)-3=1+2-3=0.
Obtemos a forma 0/0, que é uma indeterminação. Isso significa que não é possível concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação. A forma 0/0 geralmente indica que existe um fator comum que pode ser simplificado ou que é necessário outro método (fatoração, regra de L’Hôpital, etc.). Aqui vamos usar fatoração, que é mais simples e direta.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador. Vou explicar como fatorar quadráticos de forma prática: para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c busca-se dois números cuja soma seja b/a (quando conveniente) ou usa-se a fórmula das raízes
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
e a partir das raízes escreve-se o polinômio como a(x-x_{1})(x-x_{2}).
Aplicando ao numerador 2x^{2}+3x+1. Procuramos fatores inteiros: note que
2x^{2}+3x+1=(2x+1)(x+1),
pois expandindo (2x+1)(x+1)=2x^{2}+2x+x+1=2x^{2}+3x+1.
Aplicando ao denominador x^{2}-2x-3. Ele fatoriza como
x^{2}-2x-3=(x+1)(x-3),
pois (x+1)(x-3)=x^{2}-3x+x-3=x^{2}-2x-3.

Passo 4

Depois de fatorar, a expressão fica
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3} =\frac{(2x+1)(x+1)}{(x+1)(x-3)}.
Para x\neq -1 é possível cancelar o fator comum (x+1), obtendo a expressão equivalente
\frac{2x+1}{x-3},\qquad \text{para }x\neq -1.
Justificativa intuitiva: o limite quando x\to -1 depende apenas dos valores da função em pontos próximos de -1, não do valor exatamente em -1. Como para x próximos de -1 (mas diferentes de -1) a função é igual a \dfrac{2x+1}{x-3}, podemos calcular o limite usando essa forma simplificada. Esse tipo de situação chama-se descontinuidade removível: a função original tem denominador zero em -1, mas os valores próximos comportam-se como a função simplificada.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada por substituição direta (agora não há indeterminação):
\lim_{x\to -1}\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2(-1)+1}{-1-3}=\frac{-2+1}{-4}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados