Calcule o limite, se existir.
(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}
(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão a ser considerada é a função racional
. - Queremos o limite quando
se aproxima de (pela esquerda e pela direita), ou seja, o comportamento da função em pontos próximos de .
Passo 2
Teste de substituição direta (para ver se dá um valor imediato): substituir
em numerador e denominador.
Obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que não é possível concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar essa indeterminação. A forma
geralmente indica que existe um fator comum que pode ser simplificado ou que é necessário outro método (fatoração, regra de L’Hôpital, etc.). Aqui vamos usar fatoração, que é mais simples e direta.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador. Vou explicar como fatorar quadráticos de forma prática: para um polinômio quadrático
busca-se dois números cuja soma seja
(quando conveniente) ou usa-se a fórmula das raízes
e a partir das raízes escreve-se o polinômio como
.
Aplicando ao numerador
. Procuramos fatores inteiros: note que
pois expandindo
.
Aplicando ao denominador . Ele fatoriza como
Aplicando ao denominador
pois
.
Passo 4
Depois de fatorar, a expressão fica
Para
é possível cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente
Justificativa intuitiva: o limite quando
depende apenas dos valores da função em pontos próximos de
, não do valor exatamente em
. Como para
próximos de
(mas diferentes de
) a função é igual a
, podemos calcular o limite usando essa forma simplificada. Esse tipo de situação chama-se descontinuidade removível: a função original tem denominador zero em
, mas os valores próximos comportam-se como a função simplificada.
Passo 5
Calcular o limite da função simplificada por substituição direta (agora não há indeterminação):
Portanto o limite existe e vale
.