(
ponto) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de
. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
- A água entra no cilindro a taxa
. - O raio do cilindro cresce à taxa
. - No instante pedido o raio vale
. - No mesmo instante o volume de água é
.
O que o problema pede:
- Determinar a rapidez com que a altura (superfície) da água está subindo, isto é, calcular
naquele instante.
Passo 2
Relação geométrica entre as grandezas: para um cilindro circular reto o volume é
onde
é o volume,
o raio da base e
a altura (a profundidade da água).
Como o enunciado fornece e
no instante pedido, podemos encontrar
naquele instante usando
Como o enunciado fornece
Substituindo
e
:
Portanto, no instante considerado,
.
Passo 3
Derivação em relação ao tempo (explicando a ideia): como
,
e
dependem do tempo, derivamos a relação
implicitamente em relação a
. Note que
é produto de duas funções de
(a função
e a função
), então usamos a regra do produto:
. Também usamos a regra da cadeia para
.
Derivando:
Ou escrito de forma mais clara,
Passo 4
Isolando
na equação anterior:
portanto
Essa fórmula diz: para achar a velocidade de subida da superfície, subtrai-se da taxa de variação do volume a parte que se deve ao aumento do raio (mantendo a altura fixa) e divide-se pelo termo
(a área da seção transversal), que transforma variação de volume em variação de altura.
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos (usar as unidades consistentemente):
-
. -
. -
(calculado no Passo 2). -
.
Calcular o termo
:
Agora o numerador:
Denominador:
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