( \mathbf{1 , 5} ponto) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto, a uma taxa de \frac{4}{5} \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de 2.10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{min}. Quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for 20 \pi \mathrm{~m}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
  • A água entra no cilindro a taxa \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{4}{5}\pi\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • O raio do cilindro cresce à taxa \dfrac{dr}{dt} = 2\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m/min}.
  • No instante pedido o raio vale r=2\\ \mathrm{m}.
  • No mesmo instante o volume de água é V=20\pi\\ \mathrm{m^{3}}.
O que o problema pede:
  • Determinar a rapidez com que a altura (superfície) da água está subindo, isto é, calcular \dfrac{dh}{dt} naquele instante.

Passo 2

Relação geométrica entre as grandezas: para um cilindro circular reto o volume é
V=\pi r^{2}h,
onde V é o volume, r o raio da base e h a altura (a profundidade da água).
Como o enunciado fornece V e r no instante pedido, podemos encontrar h naquele instante usando
h=\frac{V}{\pi r^{2}}.
Substituindo V=20\pi e r=2:
h=\frac{20\pi}{\pi\cdot 2^{2}}=\frac{20\pi}{4\pi}=5\\ \mathrm{m}.
Portanto, no instante considerado, h=5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Derivação em relação ao tempo (explicando a ideia): como V, r e h dependem do tempo, derivamos a relação V=\pi r^{2}h implicitamente em relação a t. Note que r^{2}h é produto de duas funções de t (a função r^{2}(t) e a função h(t)), então usamos a regra do produto: \dfrac{d}{dt}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'. Também usamos a regra da cadeia para \dfrac{d}{dt}(r^{2})=2r\,\dfrac{dr}{dt}.
Derivando:
\frac{dV}{dt}=\pi\frac{d}{dt}\big(r^{2}h\big) =\pi\Big(2r\frac{dr}{dt}\cdot h + r^{2}\frac{dh}{dt}\Big).
Ou escrito de forma mais clara,
\frac{dV}{dt}=2\pi r h\frac{dr}{dt}+\pi r^{2}\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Isolando \dfrac{dh}{dt} na equação anterior:
\pi r^{2}\frac{dh}{dt}=\frac{dV}{dt}-2\pi r h\frac{dr}{dt},
portanto
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}-2\pi r h\dfrac{dr}{dt}}{\pi r^{2}}.
Essa fórmula diz: para achar a velocidade de subida da superfície, subtrai-se da taxa de variação do volume a parte que se deve ao aumento do raio (mantendo a altura fixa) e divide-se pelo termo \pi r^{2} (a área da seção transversal), que transforma variação de volume em variação de altura.

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos (usar as unidades consistentemente):
  • \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{5}\pi=0,8\pi\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • r=2\\ \mathrm{m}.
  • h=5\\ \mathrm{m} (calculado no Passo 2).
  • \dfrac{dr}{dt}=2\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m/min}.
Calcular o termo 2\pi r h\dfrac{dr}{dt}:
2\pi r h\frac{dr}{dt}=2\pi\cdot 2\cdot 5\cdot\big(2\cdot 10^{-3}\big) =20\pi\cdot 2\cdot 10^{-3}=40\cdot 10^{-3}\pi=0,04\pi\\ \mathrm{m^{3}/min}.
Agora o numerador:
\frac{dV}{dt}-2\pi r h\frac{dr}{dt}=0,8\pi-0,04\pi=0,76\pi\\ \mathrm{m^{3}/min}.
Denominador:
\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
\frac{dh}{dt}=\frac{0,76\pi}{4\pi}=\frac{0,76}{4}=0,19\\ \mathrm{m/min}.

Resposta

0,19\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}

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